物理エンジンと数値積分

物理エンジンがやっていること：力から位置への積分ループ

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ゲームの物理エンジンは、毎フレーム剛体の状態（位置・姿勢・速度・角速度）を微小時間 Δt だけ進める数値積分器が中心です。ニュートンの運動方程式は連続時間の微分方程式ですが、コンピュータは離散的にしか計算できないため、力 → 加速度 → 速度 → 位置 の連鎖を Δt きざみで近似積分します。並進は a = F/m、回転は 角加速度 = I⁻¹ τ（I は慣性テンソル、τ はトルク）で求め、これを積分して速度・角速度、さらに位置・姿勢へと反映します。

問題は、この積分のやり方で挙動の安定性がまるで変わることです。素朴に「今の速度で位置を進め、今の加速度で速度を進める」陽的（explicit / forward）Euler は、単振動のような系でエネルギーがフレームごとに増え、振動が発散します。ゲーム物理が「爆発する」典型がこれです。

semi-implicit Euler と Verlet：なぜこの積分器なのか

ゲーム物理で事実上の標準になっているのが semi-implicit Euler（別名 symplectic Euler、semi-explicit Euler）です。陽的Eulerとの違いはたった一つ、速度を先に更新し、その新しい速度で位置を進めることです。

陽的 Euler（発散しやすい・使わない）:
  x_new = x + v      * Δt      ← 古い v で位置を進める
  v_new = v + (F/m)  * Δt

semi-implicit / symplectic Euler（ゲーム標準）:
  v_new = v + (F/m)  * Δt      ← 先に速度を更新し
  x_new = x + v_new  * Δt      ← 新しい v で位置を進める

たった1行の順序差ですが、semi-implicit Euler はシンプレクティック積分器の一種で、保存系の疑似エネルギーを長時間ほぼ一定に保ちます。陽的Eulerがエネルギーを注入して発散し、逆に「後退（backward）Euler」がエネルギーを散逸させて減衰しすぎるのに対し、semi-implicit はその中間で、実装コストは陽的Eulerと同じ。これがゲームで選ばれる理由です。

もう一つの系統が Verlet積分で、速度を陽に持たず現在位置と1つ前の位置から次の位置を求めます。

位置Verlet:
  x_new = x + (x - x_prev) + (F/m) * Δt²
  （速度は v ≈ (x - x_prev) / Δt として暗黙に持つ）

Verletは位置を直接動かすため、「点間の距離を一定に保つ」といった位置レベルの拘束を、動かした後に位置をそのまま射影（クランプ）するだけで扱えるのが強みです。布・ロープ・ソフトボディ（3Dグラフィックスの原理 と隣接する分野）の質点系で広く使われます。半面、Δt を途中で変えると速度推定が壊れるため、固定タイムステップと相性が強く結びついています。

逐次インパルスによる拘束解決：接触と関節を速度レベルで解く

積分だけでは物体は互いにすり抜けます。床にめり込まない、関節が伸びない、といった条件は拘束（constraint）として別途解きます。現代のゲーム物理エンジン（Box2D・PhysXなど）の主流は、拘束を速度レベルで表現し、逐次インパルス（Sequential Impulse）で反復的に解く方式です。

各拘束は「相対速度が満たすべき条件」として書けます。接触なら「接触法線方向の相対速度が離れる向き（0以上）であれ」（非貫入）、関節なら「相対速度が0であれ」（等式）です。これを満たすように、物体対に瞬間的なインパルス（力積、速度の不連続な変化）を与えます。全拘束を同時に解く連立問題（LCP）は重いため、逐次インパルスは1つの拘束ずつ順番にインパルスを適用して速度を補正し、これを全拘束にわたって数回反復します。反復ごとに他の拘束の影響が伝播し、Gauss–Seidel的に全体の解へ収束していきます。

逐次インパルスの1フレーム:

  for 各拘束 c:                     # warm start
      前フレームの蓄積インパルスを適用（速度に反映）

  repeat イテレーション回（例 4〜10回）:
      for 各拘束 c:
          相対速度を評価
          条件を満たすのに必要なインパルス Δλ を計算
          λ_total をクランプ（接触は Δλ ≥ 0、摩擦は錐/箱で制限）
          Δλ を両物体の速度に適用

  x += v * Δt                       # 補正後の速度で位置を積分

貫入補正・安定性・スリープ・決定性

速度を合わせても、すでに起きてしまった貫入（めり込み）は消えません。これを位置レベルで押し戻す代表手法が Baumgarte安定化で、貫入深さに比例した補正速度（bias）を拘束条件に加え、数フレームかけて押し出します。ただしbiasを強くするとエネルギーが注入されて跳ねるため、係数は控えめにするか、split impulse（押し出し用インパルスを本来の速度と分離）や位置ベース補正で、反発を汚さずに貫入だけ直す実装が好まれます。

安定性の土台は固定タイムステップです。可変フレームレートのまま Δt を積分に使うと、重い場面で Δt が伸びて貫入・すり抜け・発散を招きます。実務では描画フレームレートと切り離し、1/60秒 などの固定 Δt で物理を進め、必要なら1フレームに複数回サブステップします（アキュムレータで端数を持ち越す）。Δt を小さくすれば拘束反復の収束も速く安定しますが、その分ステップ数が増えCPU負荷が上がる、というトレードオフです。

決定性（determinism）は、同じ初期状態と同じ入力列から、いつ・どの環境で走らせてもビット単位で同一の結果を得る性質で、リプレイ、ロックステップ方式のネットワーク対戦（ネットワークの原理 と関わる同期モデル）、デバッグ再現に不可欠です。これを保つには、(1) 固定 Δt（可変にしない）、(2) 物体・接触の処理順序を固定（Gauss–Seidel系の逐次インパルスは適用順で結果が変わるため、ID順など安定なソートで毎回同じ順に解く）、(3) 浮動小数点演算の再現性（同一命令列・同一丸め・SIMDやfmaの使い方・コンパイラ最適化の固定、プラットフォーム跨ぎではしばしば固定小数点を採用）が要ります。マルチスレッド化は並列度と引き換えに順序を乱しやすく、決定性と両立させるには島の分割や結果マージの順序まで固定する設計が必要です。

まとめ

物理エンジンは、剛体の力・トルクから加速度・速度・位置を Δt きざみで数値積分し、接触や関節の拘束を解いて状態を毎フレーム進めるループです。積分器は、陽的Eulerがエネルギーを注入して発散するのに対し、速度を先に更新してから位置に使う semi-implicit（symplectic）Euler がエネルギー保存に優れ剛体の標準となり、位置ベースのVerletは距離拘束を射影で扱えるため布やロープの質点系に向きます。めり込みや関節の条件は速度レベルの拘束として表し、逐次インパルスで1拘束ずつ反復補正し、warm start で前フレームのインパルスを初期値にすることで数反復で安定接触へ収束させます。すでに生じた貫入はBaumgarteやsplit impulse、位置ベース補正で反発を汚さず押し戻します。安定性は固定タイムステップとサブステップが支え、静止物体はスリープで積分から外してCPUと微振動を抑えます。そして固定Δt・処理順序の固定・浮動小数点の再現性という3条件を満たせば、リプレイやロックステップ対戦に不可欠な決定性が得られます。積分の順序と拘束解決の反復、そしてタイムステップの扱いこそが、ゲーム物理の「めり込まず・跳ねすぎず・爆発しない」挙動を決める設計軸です。