座標変換（モデル・ビュー・射影）

頂点が画面に届くまでは「空間の乗り換え」

3D モデルの頂点は、そのまま画面に描けません。まずワールド（世界）に配置し、カメラから見た座標に直し、遠近を付けてスクリーンの正規化座標へ写す——この一連の乗り換えを担うのが モデル・ビュー・射影（Model-View-Projection, MVP）行列 です。各段の変換を1つずつ 4x4 行列で表し、M_proj * M_view * M_model と 右から順に掛ける ことで、頂点 p を一気に写せます（列ベクトル規約）。GPU の頂点シェーダはこの合成行列を頂点ごとに掛けるのが本質的な仕事です。

p_clip = M_proj · M_view · M_model · p_model

  M_model : モデル座標 → ワールド座標（配置・回転・拡縮）
  M_view  : ワールド座標 → カメラ座標（視点を原点へ）
  M_proj  : カメラ座標 → クリップ座標（遠近と正規化の準備）

  掛ける順は「後で適用したい変換ほど左」。上式は
  まず M_model、次に M_view、最後に M_proj が効く。

なぜ 3 次元なのに 4x4 行列なのか（同次座標）

回転・拡大縮小は 3x3 行列で書けますが、平行移動は行列の掛け算では表せません。原点を動かす操作は線形写像（原点を保つ）ではなくアフィン変換だからです。そこで座標を1次元増やし、点 (x,y,z) を (x,y,z,1) として扱う 同次座標（homogeneous coordinates） を導入します。4x4 にすると、平行移動が最右列に収まり、回転・拡縮・平行移動を1つの行列で合成できます。

平行移動 T(tx,ty,tz):        任意の点 (x,y,z,1) に掛けると
  [ 1 0 0 tx ]                (x+tx, y+ty, z+tz, 1)
  [ 0 1 0 ty ]              ← 4行目の 1 が tx,ty,tz を
  [ 0 0 1 tz ]                座標へ「持ち込む」役割
  [ 0 0 0  1 ]

同次座標の要は末尾成分 w の意味です。w ≠ 0 の (x,y,z,w) は 3D 点 (x/w, y/w, z/w) を表し、w = 0 は「無限遠の方向（ベクトル）」を表します。だから 点は w=1、方向ベクトルは w=0 で持つのが定石で、方向ベクトルに平行移動を掛けても動かない（w=0 が tx,ty,tz を無効化する）性質が自動的に得られます。この w を後段で射影に流用するのが、次のクリップ空間の肝になります。

ビュー行列 ── カメラを原点へ引き戻す逆変換

ビュー行列の考え方はシンプルです。「カメラを動かす」のではなく、世界全体をカメラの逆だけ動かして、カメラを原点・標準の向きに固定 します。したがってビュー行列はカメラのワールド姿勢（位置と回転）の 逆行列 です。回転部分 R は直交行列なので逆は転置 Rᵀ で済み、平行移動と合わせて次の形になります。

M_view = [ Rᵀ   -Rᵀ·t ]     R : カメラの回転（各軸がワールドでの向き）
         [ 0ᵀ      1   ]     t : カメラのワールド位置

  典型的な lookAt(eye, center, up) は
    forward = normalize(center - eye)
    right   = normalize(cross(forward, up))
    trueUp  = cross(right, forward)
  の3軸で R を組み、-Rᵀ·eye を平行移動に入れて構築する。

射影行列と透視除算 ── 遠近はどこで生まれるか

透視投影は「遠いものほど小さい」を作ります。鍵は、射影行列が出力の w 成分にカメラ空間の深度（右手系なら -z）を書き込む ことです。行列積の直後の座標はまだ割り算されていない クリップ座標 で、その後 GPU が固定機能として xyz を w で割る 透視除算（perspective divide） を行います。深度で割るからこそ、遠い（w が大きい）頂点ほど中心へ寄り、遠近が付きます。

透視射影後のクリップ座標（列ベクトル、右手系の例）:
  x_clip =  x · (f/aspect)          f = 1/tan(fovy/2)
  y_clip =  y · f
  z_clip =  z·A + w·B               A,B は near/far で決まる係数
  w_clip = -z                       ← 深度が w に入る（ここが要）

透視除算（GPU が実行）:
  NDC = (x_clip/w_clip, y_clip/w_clip, z_clip/w_clip)
      → 各成分が概ね -1〜1 に収まる（正規化デバイス座標）

正射影（orthographic）では w_clip = 1 のまま。
割っても遠近が付かず、平行が保たれる（CAD やUI向き）。

透視除算後の空間が NDC（Normalized Device Coordinates） で、可視領域は一辺 2 の立方体（各軸 -1〜1、深度の範囲は API の約束次第）に正規化されます。この立方体に対してクリッピングと、ビューポート変換（NDC→ピクセル座標）が続きます。クリッピングを 除算前のクリップ座標で行う のは、w の符号情報（カメラ背後の点は w が負）が割り算で失われ、背後の点が画面前面に化ける「反転」を避けるためです。

右手系と左手系 ── 何が違い、なぜ食い違うか

座標系には 右手系と左手系 があり、X と Y を画面の右・上に取ったとき、奥行き Z の正方向が「手前向き（右手系）」か「奥向き（左手系）」かで分かれます。数学や OpenGL は右手系（カメラは -Z を向く）、Direct3D は伝統的に左手系を好むなど、API で約束が異なります。加えて NDC の深度範囲 も割れており、OpenGL は -1〜1、Direct3D・Vulkan・Metal は 0〜1 です。

実務では、利き手系と深度範囲が食い違うライブラリ間でモデルを移すと、モデルが裏返る・面の表裏（フェイスカリングの向き）が反転する・深度が逆になる、といった不具合が出ます。原因の多くは 射影行列の符号と、三角形の頂点巻き順（CW/CCW） の不一致です。移植時はまず射影行列の系と NDC 深度範囲を合わせ、次にカリングの巻き順を確認するのが定石です。

法線に逆転置行列が要る理由

頂点を M で変換するとき、法線ベクトルを同じ M で変換すると、非等方スケール（軸ごとに倍率が違う変形）で法線が面に垂直でなくなります。ライティングは法線の向きで決まるため、これは陰影の破綻に直結します。正しくは法線を モデル行列（の左上 3x3 部分 A）の逆転置 (A⁻¹)ᵀ で変換します。

理由は「法線は面の接ベクトルと直交し続けねばならない」という制約から導けます。接ベクトル t は A·t へ変換される。変換後も法線 n' が A·t と直交する（内積 0）ためには、次が任意の t で成り立てばよい。

要件:  (n')ᵀ · (A·t) = 0   （変換後も法線 ⟂ 接線）
仮に   n' = B·n とおくと
       (B·n)ᵀ · (A·t) = nᵀ·Bᵀ·A·t

  元の直交 nᵀ·t = 0 を保つには  Bᵀ·A = I  が必要
  ⇒  Bᵀ = A⁻¹  ⇒  B = (A⁻¹)ᵀ    （＝逆転置）

まとめ

• MVP は モデル→ビュー→射影 の3変換を 4x4 行列で表し M_proj·M_view·M_model と合成する。列ベクトル規約では「後で効かせたい変換ほど左」。
• 同次座標 は座標を1次元増やして平行移動を行列積に載せる仕組み。w=1 が点、w=0 が方向ベクトルで、この w を射影が深度に流用する。
• 射影行列は w に深度を書き込み、GPU の 透視除算 が xyz/w を行って遠近を付け、可視域を NDC（-1〜1 の立方体）へ正規化する。クリッピングは符号情報を保つため除算前に行う。
• 右手系・左手系 の違いは Z の向きと NDC 深度範囲の約束差で、移植時は射影行列の符号とカリング巻き順の不一致に注意する。
• 法線はモデル行列の逆転置 (A⁻¹)ᵀ で変換する。非一様スケールで法線が面から傾くのを防ぐためで、回転のみなら元の行列と一致する。