測定と状態の収縮

測定という「特別な操作」

量子系の時間発展は、通常はシュレディンガー方程式に従う滑らかで可逆な変化です。状態ベクトルはユニタリ変換で回転していくだけで、情報は失われません。ところが測定だけは、この枠組みの外にある不連続な操作として要請されます。重ね合わせにあった状態が、観測した瞬間に1つの確定値へ飛び移り、後戻りできなくなる——この「状態の収縮」を、射影測定・ボルン則・非可逆性・期待値の順に、なぜそうなるのかまで正確に追います。

前提として、状態は正規化された状態ベクトル |ψ>（ノルム1）で表され、<ψ|ψ> = 1 を満たします。ここで <a|b> は内積（ブラケット記法）、<a| は |a> の共役転置（双対ベクトル）です。

観測量とエルミート演算子

測定できる物理量（位置・運動量・スピンなど）は、エルミート演算子 A（A = A†、† は共役転置）で表されます。エルミート性が要求される理由は明確で、(1) 固有値がすべて実数になるため測定値が実数として意味を持つこと、(2) 異なる固有値の固有ベクトルが直交し、正規直交基底を張れることの2点です。

A の固有値方程式を A|a_i> = a_i |a_i> と書くと、固有値 a_i が「起こりうる測定結果」の候補、固有ベクトル |a_i> が「その結果に対応する状態」になります。固有値が縮退していない（すべて相異なる）場合、固有ベクトル {|a_i>} は正規直交基底を成し、任意の状態を次のように一意に展開できます。

|ψ> = Σ_i c_i |a_i>          （c_i = <a_i|ψ> は複素数の展開係数＝振幅）
Σ_i |c_i|^2 = 1              （規格化条件、確率の総和が1に対応）

この基底 {|a_i>} を測定基底と呼びます。どの観測量を測るかが、どの基底へ分解するかを決める——同じ状態でも、測る量が変われば分解のしかたも確率も変わります。これが「測定基底の選択」という考え方の核心です。

ボルン則：振幅の絶対値2乗が確率

測定すると、結果は候補 {a_i} のどれか1つに確率的に決まります。その確率を与えるのがボルン則です。状態 |ψ> を測定基底で展開したときの係数 c_i に対し、結果 a_i が出る確率は係数の絶対値の2乗になります。

P(a_i) = |c_i|^2 = |<a_i|ψ>|^2

なぜ「絶対値の2乗」なのかは、規格化と整合する自然な要請から理解できます。確率は非負の実数でなければならず、総和が1でなければなりません。振幅 c_i は複素数なのでそのままでは確率になりませんが、|c_i|^2 は必ず非負の実数で、Σ|c_i|^2 = <ψ|ψ> = 1（規格化条件）を自動的に満たします。位相 e^{iθ} の違いは |c_i|^2 に影響しないため、全体位相は観測結果に現れないことも同時に説明できます。

縮退がある場合や連続スペクトルの場合は、より一般に射影演算子を使って書きます。固有値 a_i の固有空間への射影を P_i とすると（P_i = Σ |a_i,d><a_i,d|、d は縮退の自由度）、確率は次の形になります。

P(a_i) = <ψ| P_i |ψ> = || P_i |ψ> ||^2

状態収縮：射影して規格化する

測定で結果 a_k が得られた瞬間、状態はその固有状態へ収縮します。収縮後の状態は、|ψ> に射影演算子 P_k を作用させ、ノルムが1になるよう規格化したものです。

測定前:  |ψ> = Σ_i c_i |a_i>
結果 a_k を観測
測定後:  |ψ'> = P_k |ψ> / || P_k |ψ> ||

縮退がない単純な場合、これは |ψ'> = |a_k>（全体位相を除く）になります。つまり多数の項を持っていた重ね合わせが、観測された1項だけに潰れるわけです。ここで規格化（|| P_k|ψ> || で割ること）が必須なのは、射影しただけの P_k|ψ> = c_k|a_k> はノルムが |c_k| < 1 になってしまい、状態ベクトルの規格化条件を破るからです。分母で割ることでノルム1に戻します。

この規則は同じ観測量をすぐ再測定すると必ず同じ結果になるという実験事実を再現します。収縮後の |ψ'> = |a_k> を再び A で測ると、|a_k> は A の固有状態なので確率1で a_k が出ます。測定が状態を「確定させた」ことの現れです。

観測の非可逆性

通常のユニタリ発展 |ψ(t)> = U|ψ(0)>（U†U = I）は可逆です。逆変換 U† を掛ければ元に戻り、内積とノルムを保ち、情報は失われません。一方、収縮を表す操作 |ψ> → P_k|ψ> / ||P_k|ψ>|| は非ユニタリで、決定的に非可逆です。

非可逆である理由を演算子の性質から言えば、射影 P_k は逆行列を持ちません（P_k^2 = P_k かつ固有値は0か1のみで、0固有値の存在から可逆でない）。物理的に言えば、収縮は |a_k> 以外のすべての成分 c_i (i≠k) を捨て去ります。捨てられた振幅の情報は原理的に復元できず、測定前の重ね合わせにも戻せません。さらに、どの結果が出るかは確率的なので、同じ |ψ> を用意して測っても毎回同じ結果にはならない——この確率性と情報喪失が、測定を一方向の操作にしています。

期待値：1回の値ではなく統計量

個々の測定結果は予測できませんが、同じ状態を多数用意して同じ観測量を測り、その平均を取れば確定した値に収束します。これが観測量 A の期待値で、ブラケットで簡潔に書けます。

<A> = <ψ| A |ψ> = Σ_i a_i P(a_i) = Σ_i a_i |c_i|^2

右辺の展開が示すとおり、期待値は「起こりうる各結果 a_i を、その確率 |c_i|^2 で重み付けした加重平均」です。左辺の <ψ|A|ψ> は同じものを演算子で一発計算する形で、A|ψ> = Σ c_i a_i |a_i> に <ψ| を掛ければ Σ |c_i|^2 a_i が出て一致します。

ここで最も誤解されやすい点を強調します。期待値は1回の測定で得られる値ではありません。むしろ、多くの場合は期待値そのものが測定結果として決して出ないことすらあります。例えばスピンを測って結果が +1 か -1 の2値しか取らないのに、期待値が 0 になることは普通にあります。<A> はあくまで無限回測定の平均という統計量であって、個々のショットの値ではないのです。

まとめ

量子測定は、滑らかなユニタリ発展とは別枠の不連続・確率的・非可逆な操作です。要点は3つ。(1) 観測量はエルミート演算子で表され、その固有基底＝測定基底へ状態を分解する。どの量を測るかが基底を選ぶ。(2) 各結果の確率はボルン則 |<a_i|ψ>|^2 で決まり、測定後は射影＋規格化 P_k|ψ>/||P_k|ψ>|| で固有状態へ収縮する。(3) 収縮は射影が逆を持たず情報を捨てるため非可逆で、個々の結果は予測不能。決まっているのは多数回平均としての期待値 <ψ|A|ψ> だけであり、これは1回の測定値とは異なる統計量である。この枠組みは、量子計算における測定によるアルゴリズム設計や、/security/ で扱う量子鍵配送の盗聴検知（測定が状態を乱し痕跡を残す）の土台にもなります。