FIRフィルタとIIRフィルタ

2種類のデジタルフィルタを差分方程式で分ける

デジタルフィルタは、離散化された入力信号 x[n] から不要な周波数成分を削ったり強調したりする演算です。実装形態は大きく2つ、FIR（Finite Impulse Response、有限インパルス応答）と IIR（Infinite Impulse Response、無限インパルス応答）に分かれます。両者を分ける本質は、出力に過去の出力を帰還させるか否かという構造の一点にあります。一般の線形フィルタは次の差分方程式で書けます。

一般形（LCCDE, 線形定係数差分方程式）:

  y[n] = Σ_{k=0}^{M} b[k]·x[n-k]  −  Σ_{k=1}^{N} a[k]·y[n-k]

  b[k] : 入力（フィードフォワード）側の係数
  a[k] : 出力（フィードバック）側の係数, a[0]=1 に正規化
  M, N : それぞれ入力側・出力側のタップ数

右辺第2項、すなわち過去出力 y[n-k] の総和がゼロ（全ての a[k] がゼロ）なら FIR、非ゼロなら IIR です。この一行の差が、位相特性・安定性・計算量のすべてを分岐させます。

FIR：畳み込みそのもの、非再帰・有限長

FIR フィルタは帰還項を持たず、出力は過去 M+1 個の入力の重み付き和だけで決まります。

FIR:  y[n] = Σ_{k=0}^{M} b[k]·x[n-k]

この係数列 b[k] は、そのままフィルタのインパルス応答 h[k] に一致します（入力に単位インパルス δ[n] を入れると出力が b[k] そのものになるため）。応答は k > M で厳密にゼロになる——つまり有限長です。ここから重要な帰結が2つ出ます。

第一に、FIR の出力は入力とインパルス応答の畳み込みそのものです。y[n] = Σ h[k]·x[n-k] は畳み込み和の定義そのままで、フィルタリングと畳み込みが完全に一致します。第二に、伝達関数は z の負べきの多項式となり、分母を持たないため極（分母がゼロになる点）が存在しません。

FIR の伝達関数:  H(z) = Σ_{k=0}^{M} b[k]·z^{-k}   （分母なし = 全ゼロ型）

線形位相：FIR だけが厳密に達成できる

FIR の決定的な利点が厳密な線形位相です。位相応答が周波数に対して直線になると、全ての周波数成分が同一の時間だけ遅れる（群遅延が一定）ため、波形の形が崩れません。これは係数列 h[k] を中心に対して対称または反対称に取るだけで自動的に達成できます。

対称条件:  h[k] = ±h[M-k]   （+ が偶対称, − が奇対称）

  → 位相 θ(ω) = −(M/2)·ω （偶対称）／ −(M/2)·ω + π/2 （奇対称）
     いずれも ω の一次式（奇対称は定数 π/2 のオフセットが付く一般化線形位相）
  → 群遅延 = −dθ/dω = M/2 （サンプル）で全周波数一定（π/2 は微分で消える）

群遅延が M/2 サンプルで一定なので、通過帯域の各成分は同じ量だけ平行移動するだけです。オーディオや画像、通信のパルス整形など、位相歪みが致命的になる用途で FIR が選ばれる根拠がこれです。

IIR：帰還による再帰構造と極

IIR フィルタは過去の出力を係数 a[k] で帰還させます。この再帰により、有限個の係数でもインパルス応答は原理的に無限に続きます（減衰しつつ理論上ゼロにならない）。

IIR:  y[n] = Σ_{k=0}^{M} b[k]·x[n-k]  −  Σ_{k=1}^{N} a[k]·y[n-k]
                                          ↑ 過去出力の帰還（再帰項）

伝達関数は分子・分母の両方を持つ有理関数になり、分母がゼロになる点、すなわち極が現れます。

IIR の伝達関数:

  H(z) = ( Σ b[k]·z^{-k} ) / ( 1 + Σ a[k]·z^{-k} )   （極・ゼロ型）

  分母 = 0 の根 → 極（pole）

この極こそが IIR の威力と危うさの源です。極を単位円の内側ぎりぎりに配置すると、少ない次数で鋭い共振や急峻な遮断を作れます。アナログの Butterworth・Chebyshev・楕円フィルタを双一次変換で離散化すると、そのまま IIR になります。

計算量の対比：同じ特性なら IIR が桁で有利

同一の遮断急峻性（ロールオフ）を得るのに必要な次数は、一般に IIR が FIR より大幅に少なくなります。急峻な帯域制限を FIR で作ると数十〜数百タップを要するのに対し、IIR なら極を使って同等の減衰を数次で達成できます。1サンプルあたりの乗算回数はおおむね次数に比例するため、演算量と遅延に直結します。

数値の直観として、out = floor(...) のような整数演算ではなく、乗算・加算の回数で比較するのが要点です。FIR の M+1 タップは M+1 回の乗算、IIR の次数 N は約 2N 回程度（分子分母合わせて）で、同等特性なら後者が圧倒的に少なくなります。

用途による使い分け

構造差から、選択基準は明快になります。

• FIR を選ぶ：位相直線性が必須（オーディオのクロスオーバー、通信のパルス整形、画像フィルタ）、絶対的な安定性が要る、係数量子化に頑健であってほしい、適応フィルタ（LMS など）で係数を動的更新する場合。遅延の一定さが許容できることが前提。
• IIR を選ぶ：計算資源・メモリ・電力が厳しい組込みや MCU、低遅延が要る制御ループやリアルタイム系、アナログフィルタの特性を素直に離散化したい場合。位相歪みと安定性管理を受け入れられることが前提。

まとめ

FIR と IIR の違いは、差分方程式に過去出力の帰還項があるかの一点に集約されます。FIR は非再帰・有限長・全ゼロ型で、出力は入力とインパルス応答の畳み込みそのもの。極を持たないため常に安定し、係数を対称に取れば厳密な線形位相（群遅延一定）が得られますが、急峻な特性には多タップ＝大きな遅延と演算量を要します。IIR は再帰・無限長・極ゼロ型で、少ない次数で急峻な遮断と低遅延を実現しますが、極が単位円を外れると発散し、位相は一般に非線形で、係数量子化にも敏感です。したがって、位相直線性と無条件の安定性が要るなら FIR、計算量・遅延・資源が厳しく位相歪みを許せるなら IIR という、安全性と効率のトレードオフで選び分けます。畳み込みという演算そのものの数理は /ai/ の畳み込み解説も、フィルタが動くハードウェア基盤は /hardware-components/ も合わせて参照してください。