テクスチャマッピングとフィルタリング

テクスチャマッピングが解く問題

ポリゴンの表面に画像（テクスチャ）を貼り付けて、少ない頂点で豊かな見た目を得るのがテクスチャマッピングです。各頂点にはテクスチャ上の位置を指す UV 座標（テクスチャ座標）が付与され、多くは 0.0〜1.0 に正規化されます。ラスタライザはこの UV を三角形内部でパースペクティブ補正しながら補間し、ピクセルごとのサンプリング位置を決めます。GPU の役割分担は ハードウェア部品 のグラフィックス項も参照してください。

問題は「テクスチャの解像度」と「画面に映る大きさ」がまず一致しない点にあります。近づけばテクセル（テクスチャの1画素）が画面上で引き伸ばされ（マグニフィケーション）、遠ざかれば1つの画面ピクセルに多数のテクセルが詰め込まれます（ミニフィケーション）。この2つはまったく別の破綻の仕方をするため、対策も分けて考える必要があります。

最近傍とバイリニア ── 拡大時の補間

サンプリングの最も素朴な方法は 最近傍（nearest / point） です。UV を最寄りのテクセル中心に丸めて1点だけ読むため高速ですが、拡大するとテクセルが四角いブロックとして見えます（ドット絵をわざと出したい場合を除き好まれません）。

そこで バイリニアフィルタリング を使います。サンプリング点を囲む2×2のテクセルを読み、UV の小数部を重みにして双一次補間します。

バイリニア補間（1ピクセル分）:

  u, v から周囲4テクセルの座標を求める:
    u0 = floor(u - 0.5),  u1 = u0 + 1
    v0 = floor(v - 0.5),  v1 = v0 + 1
    fu = frac(u - 0.5),   fv = frac(v - 0.5)   // 小数部が重み

  横方向に2回、縦方向に1回、線形補間:
    top = lerp( tex(u0,v0), tex(u1,v0), fu )
    bot = lerp( tex(u0,v1), tex(u1,v1), fu )
    out = lerp( top, bot, fv )

4テクセルの加重平均になるため、拡大しても輪郭が滑らかにつながります。GPU のテクスチャユニットはこの2×2フェッチと補間を専用ハードウェアで1サイクル級に実行するため、実務上バイリニアは事実上の既定と考えてよいでしょう。

ミニフィケーションとエイリアシング

厄介なのは縮小側です。1つの画面ピクセルがテクスチャ上では広い領域（多数のテクセル）に対応するのに、バイリニアは2×2しか読みません。つまり ピクセルが覆うべき情報のごく一部しかサンプリングしていない ことになります。

これは信号処理でいうアンダーサンプリングそのもので、ナイキスト周波数を超える細かい模様が低い周波数の偽パターンとして現れます。これが エイリアシング です。市松模様の床が遠方でザワザワと蠢いたり、カメラやオブジェクトが動くたびに模様がチラチラと明滅する（テクスチャクローリング）のは典型的な症状です。本来1ピクセルの色は「そのピクセルが覆うテクセル領域の平均」であるべきなのに、点サンプリングでは平均が取れていないことが原因です。

ミップマップと LOD 選択

ミップマップ は、元テクスチャを1/2ずつ縮小した画像の階層（ピラミッド）を事前生成したものです。各段（ミップレベル）は下位段を2×2平均などでフィルタして作るため、すでに帯域制限（ローパス）済みです。レベル0が原寸、レベル1が縦横1/2、と続きます。追加メモリは元の約1/3（1/4 + 1/16 + … の等比和）で済みます。

実行時は縮小率に応じて どのレベルを読むか（LOD: Level of Detail） を選びます。指標は「画面上で1ピクセル動いたとき UV がどれだけ動くか」、すなわちテクスチャ座標の画面微分です。

LOD の計算（等方の場合）:

  ピクセル間のUV変化（テクセル単位）を求める:
    dx = ( du/dsx, dv/dsx )   // 画面x方向へ1px進めたときのUV差
    dy = ( du/dsy, dv/dsy )   // 画面y方向へ1px進めたときのUV差

  ρ   = max( length(dx), length(dy) )   // 1pxが覆うテクセル距離
  LOD = log2( ρ )

  例: ρ = 4（1ピクセルが4テクセルぶん覆う）なら LOD = 2 を選ぶ

GPU はピクセルを2×2の クアッド 単位で処理し、隣接ピクセル間の UV 差分を取ることで du/dsx などの微分を自動で得ます。シェーダ内で分岐によりクアッドが割れると微分が乱れ、LOD が不正確になり得る点は実装上の注意点です。

トライリニアと異方性フィルタリング

LOD は連続値になりますが、ミップレベルは整数段しかありません。単純に近い段へ丸めると、床などで LOD がレベル1からレベル2へ切り替わる境界に くっきりした帯（ミップバンド） が見えてしまいます。

これを消すのが トライリニアフィルタリング です。隣り合う2つのミップレベルそれぞれでバイリニア補間し（合計8テクセル）、LOD の小数部を重みにして2枚の結果をさらに線形補間します。バイリニアが「面内2次元」の補間なのに対し、トライリニアは「レベル方向」も足した3次元の補間になります。段の切り替わりが連続化され、帯が消えます。

トライリニアにも弱点があります。LOD は縦横の微分の 最大値 で決めるため、床を浅い角度で見るような場面では、視線に沿う方向だけテクセルが強く圧縮され、直交方向はさほど圧縮されていない、という 異方的 な状況が生じます。最大値に合わせて粗いミップを選ぶと、圧縮の弱い方向まで巻き添えでボケてしまうのです。

異方性フィルタリング（AF） はこれを解決します。ピクセルのフットプリントは正方形ではなく、投影によって細長い平行四辺形になります。AF はその長軸に沿って複数のサンプル点を並べ、各点でトライリニア相当のサンプリングを行って積分します。設定の「16x」は最大16サンプルまで長軸方向に取れることを意味し、圧縮の強い方向の情報を細かく拾いつつ、直交方向はボケさせません。異方比（長軸÷短軸）が大きいほどサンプル数を増やします。

ラップモードと境界の扱い

UV が 0〜1 の範囲を外れたとき、どのテクセルを返すかを決めるのが ラップモード（アドレッシングモード） です。

• リピート（wrap）: 小数部だけを使い、テクスチャを敷き詰める。タイル状の床や壁に使う。
• クランプ（clamp to edge）: 範囲外を端のテクセルに固定。スカイボックスや UI で継ぎ目を出したくないときに使う。
• ミラー（mirror）: 1周ごとに反転して敷き詰める。継ぎ目が目立ちにくい。
• ボーダー: 範囲外を指定した縁色で返す。

まとめ

• テクスチャは UV 座標でサンプリング し、拡大時は周囲2×2を加重平均する バイリニア でブロックノイズを抑える。
• 縮小時は1ピクセルに多数テクセルが落ちて エイリアシング が起きる。正解は「フットプリント内の平均」で、これを事前計算したのが ミップマップ。
• どのミップを読むかは UV の画面微分から LOD として求め、レベル境界の帯は トライリニア（8テクセル＋レベル間補間）で連続化する。
• 斜め視の過剰ボケは、細長いフットプリントを長軸方向に複数サンプルで積分する 異方性フィルタリング で解消する。
• ラップモード は範囲外 UV の扱いを決め、アトラス利用時はガターで テクスチャブリード を防ぐのが実務上の定石。