AIMD と輻輳制御の数理（なぜ加法増加・乗法減少か）

AIMD とは何を最適化する制御か

TCP の輻輳制御は、送信側が同時に流せる量を表す輻輳ウィンドウ（cwnd）を、ネットワークの混み具合に応じて動的に調整します。中核となるのが AIMD（Additive Increase / Multiplicative Decrease）です。

• 加法増加（AI）: 損失が観測されない間、おおむね 1 RTT ごとに cwnd を定数 a（典型的には MSS 1個分）だけ増やす。
• 乗法減少（MD）: パケット損失（＝輻輳のシグナル）を検知したら、cwnd を係数 b（標準では 0.5）倍に落とす。

なぜ「増やすときは足し算、減らすときは掛け算」という非対称な形なのか。これは恣意的な経験則ではなく、複数フローが分散的に（互いの状態を知らずに）動いても、帯域の公平な分配と安定した収束を同時に達成できる、という数理的な要請から導かれます。前提として TCP の信頼性・再送の枠組みは TCP と UDP の違い を、回線容量とスループットの関係は 帯域・レイテンシ・スループット を参照してください。

Chiu-Jain のベクトル図で見る収束

Chiu と Jain（1989）は、2 つのフローが帯域を共有する状況を 2 次元平面で表しました。横軸をフロー1の割り当て x1、縦軸をフロー2の割り当て x2 とします。この平面に 2 本の重要な直線を引きます。

• 効率線（efficiency line）: x1 + x2 = C。合計が回線容量 C に一致する線。これより内側は容量を使い切れておらず、外側は輻輳（オーバーフロー）。
• 公平線（fairness line）: x1 = x2。両フローが等量を得る 45 度の直線。

理想は両線の交点、すなわち「容量を使い切り、かつ等分」の点です。各フローは合計が C を超えたか（損失あり）どうかという1ビットの共有情報しか持たず、自分の割り当てしか直接は動かせません。この制約下で各操作がベクトル図上でどう動くかを見ます。

ここが核心です。加法増加は両フローに同じ量 a を足すので、点 (x1, x2) は傾き 1 の方向へ動きます。これは公平線に平行な移動なので、両者の比 x1/x2 は 1 に近づきません（差 x1 − x2 が保たれる）。一方、乗法減少は両フローに同じ率 b を掛けるので、点は原点と現在地を結ぶ直線上を原点へ向かって動きます。この動きは比 x1/x2 を保ったまま縮小する、つまり原点・現在点・公平線の幾何から、差 x1 − x2 が b 倍に縮むことを意味します。

なぜ AI/MD でなければならないかは、4 つの組み合わせを比べると明確です。

MIMD（例: スロースタートのような毎回 2 倍）は増減ともに比を保つため、初期の不公平がいつまでも消えません。AIAD は差を保つだけで縮めません。増加と減少で「足し算」と「掛け算」を非対称に組み合わせることが、分散制御で公平点へ収束する必要条件なのです。

微分方程式で見るのこぎり波と平衡

時間連続の近似でも本質は同じです。1 フローの平均ウィンドウ w(t) の挙動を、損失確率を p、RTT を R として表すと、増加項と減少項の釣り合いで書けます。

dw/dt ≈ (1 / R) − (w / 2) · (p · w / R)
        ───────    ─────────────────────
        加法増加     乗法減少（損失率 p·w/R で w/2 を失う）

• 第1項: 損失がなければ 1 RTT あたり 1 ずつ増える、線形の増加。
• 第2項: 単位時間に約 p·w/R 回の損失が起き、そのたびに w/2 を失う乗法減少。

平衡（dw/dt = 0）を解くと、平均ウィンドウは w* ≈ sqrt(2/p) に落ち着きます。1 パケットあたりのデータ量と RTT で割れば、有名な逆数平方根則が得られます。

スループット ≈ MSS / (R · sqrt(2·p / 3))   # 係数3は b=1/2 と triple-dup-ack を含めた標準形

この式が示す含意は実務的に重要です。スループットは損失率 p の平方根に反比例し、RTT に反比例します。ゆえに RTT が長いフローは同じボトルネックでも不利になり（RTT 公平性の問題）、わずかな損失率の悪化がスループットを大きく削ります。

設計上の含意と発展

• 公平性の前提: 上の収束は「全フローが同じ a, b と同じ RTT を持つ」理想化です。RTT が異なれば短 RTT フローが速く増やせるため、Reno 系では RTT 不公平が残ります。これを緩めるのが CUBIC（増加を RTT 非依存の三次関数にする）です。
• 損失＝輻輳という仮定: AIMD は損失を輻輳のシグナルとみなします。無線のランダム損失では誤って減速します。ECN（明示的輻輳通知）はルータが損失前にマークを付け、MD の起点を損失から分離します。RFC 5681 が Reno の標準挙動を規定します。
• 遅延ベースとの対比: BBR は損失ではなくボトルネック帯域と RTT を推定して動くため、AIMD ののこぎり波とは別系統です。とはいえ「分散フローが共有資源へ公平収束する」という Chiu-Jain の評価軸は今も設計の物差しです。
• どこに効かせるか: AIMD はエンド間の制御です。経路上で重要通信を守る優先制御は別レイヤの課題で、QoS（通信品質の制御） が担います。プロトコル階層の役割分担は TCP/IP（インターネットの基礎） を参照してください。