ブロッホ球と量子状態

なぜ「球」なのか

1個の量子ビット（qubit）の純粋状態は、2次元の複素ベクトルです。一般には |ψ⟩ = a|0⟩ + b|1⟩（a・b は複素数）と書け、規格化条件 |a|² + |b|² = 1 を満たします。複素数が2つあるので実パラメータは4個。ここから測定に効かない自由度を2つ削ると、残るのはちょうど2個の実数になり、それが単位球（ブロッホ球）上の1点に対応します。この「4個 → 2個」の削り方を丁寧に追うのが本記事の目的です。

まず規格化条件 |a|² + |b|² = 1 が実パラメータを1つ潰します。次に、これから示すように係数全体に掛かる共通位相は物理的に観測できないため、もう1つ潰せます。4 − 1 − 1 = 2。この2個が球面の緯度・経度に相当します。

θとφによる標準形

削減後の状態は、次の標準形1本にまとめられます。

|ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩

  θ : 極角（polar angle）  範囲 0 ≤ θ ≤ π
  φ : 方位角（azimuth）    範囲 0 ≤ φ < 2π

ここで係数の絶対値を cos(θ/2) と sin(θ/2) に置いたのは、規格化 cos²(θ/2) + sin²(θ/2) = 1 が自動で満たされるからです。|0⟩ 側の係数は実数（正）に選び、位相のずれはすべて |1⟩ 側の e^(iφ) に押し込めています。これで実自由度は θ と φ の2個ちょうどです。

角度に θ/2 が現れる点は最重要の注意点です。ヒルベルト空間で θ を 0 から π まで動かすと、状態は |0⟩ から |1⟩ へ移ります。これをブロッホ球では北極から南極への移動に対応させたいので、球面の極角そのものを θ とし、係数側は θ/2 になります。結果として**ヒルベルト空間で直交する状態（|0⟩ と |1⟩）は、ブロッホ球では正反対（角度差 π、対蹠点）**に置かれます。

グローバル位相が消える理由

自由度を2つ目に削った根拠、すなわち係数全体に掛かる位相（グローバル位相）が観測に効かないことを、測定確率と期待値の両面から示します。

状態 |ψ⟩ と、それに位相 e^(iγ) を掛けた |ψ'⟩ = e^(iγ)|ψ⟩ を比べます。量子測定で結果 k を得る確率はボルンの規則で |⟨k|ψ⟩|² です。位相を掛けると次のようになります。

|⟨k|ψ'⟩|² = |e^(iγ)|² · |⟨k|ψ⟩|²
          = 1 · |⟨k|ψ⟩|²        （|e^(iγ)| = 1 だから）
          = |⟨k|ψ⟩|²

どの基底 |k⟩ で測っても確率は完全に一致します。同様に任意の観測量 O の期待値 ⟨ψ|O|ψ⟩ も、e^(−iγ) · e^(iγ) = 1 により ⟨ψ'|O|ψ'⟩ = ⟨ψ|O|ψ⟩ となって不変です。あらゆる測定・期待値が区別できない以上、e^(iγ)|ψ⟩ と |ψ⟩ は物理的に同一の状態であり、球面上の同じ1点に写ります。

ここで効くのは「共通の位相」だけである点を強調します。|0⟩ と |1⟩ の相対位相 φ は消えません。相対位相は基底を変えて測る（例：X基底での測定）と確率に効くため、観測可能な物理量です。ブロッホ球で経度 φ が意味を持つのはこのためです。

座標と測定確率の対応

θ・φ から、ブロッホ球のデカルト座標 (x, y, z) は次で与えられます。これはブロッホ・ベクトルと呼ばれ、状態の期待値そのものです。

x = sin(θ) cos(φ) = ⟨X⟩   （パウリ X の期待値）
y = sin(θ) sin(φ) = ⟨Y⟩
z = cos(θ)        = ⟨Z⟩

z 軸方向の測定（計算基底）で 0 を得る確率:
  P(0) = cos²(θ/2) = (1 + z) / 2
  P(1) = sin²(θ/2) = (1 − z) / 2

z = cos(θ) が測定確率を直接決めます。北極（z = +1, θ = 0）では P(0) = 1、南極（z = −1, θ = π）では P(1) = 1、赤道（z = 0, θ = π/2）では P(0) = P(1) = 1/2 の完全な重ね合わせです。緯度が測定の偏りを、経度が相対位相を表す、という読み方が身につくと球面が一気に実用的になります。

代表的な状態の位置

よく使う6状態の位置を、角度・座標つきで並べます。|+⟩・|−⟩ は X基底、|+i⟩・|−i⟩ は Y基底の固有状態です。

極（θ = 0 または π）では sin(θ/2) か cos(θ/2) が 0 になり φ の係数が消えるため、経度 φ は意味を持ちません（北極・南極では経度が定義できないのと同じ）。表で |0⟩・|1⟩ の φ を「任意」としたのはこのためです。赤道上の4状態は、いずれも θ = π/2 で P(0) = P(1) = 1/2 と測定確率（Z基底）は同じですが、相対位相 φ が 90 度ずつ違うことで互いに異なる状態になっています。なお直交するのは球面上で正反対に位置する対だけで、|+⟩ と |−⟩（および |+i⟩ と |−i⟩）は直交しますが、|+⟩ と |+i⟩ のように 90 度しか離れていない組は直交しません（重なり |⟨+|+i⟩|² = 1/2）。

純粋状態と混合状態：球面か内部か

ここまでは純粋状態を扱い、すべて球「面」（半径1）上の点でした。実機ではノイズや部分測定により、状態が確率的に混ざった混合状態になります。混合状態は密度行列で表され、ブロッホ・ベクトルの長さ r = √(x²+y²+z²) が 1 未満、すなわち球の内部の点になります。

r = 1  → 純粋状態（球面）        例: |0⟩, |+⟩
0 < r < 1 → 混合状態（球の内部）
r = 0  → 完全混合状態（中心）    I/2、測定は常に五分五分

中心（r = 0）は最大限に情報を失った状態で、どの軸で測っても 50:50 になります。デコヒーレンスは幾何的にはブロッホ・ベクトルが中心へ縮んでいく過程として描けます。純粋状態だけを考える限りは「球面」、実機の劣化まで含めるなら「球体全体」が舞台になる、と押さえておきます。

まとめ

ブロッホ球は、1量子ビットの純粋状態を**「複素2次元ベクトルから、観測に効かない2自由度（規格化と共通位相）を落とした残り」**として幾何化した描像です。核心は3点。(1) 標準形 cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩ で自由度がちょうど θ・φ の2個に落ちること、(2) グローバル位相 e^(iγ) は |e^(iγ)| = 1 ゆえ全測定で消え、効くのは相対位相 φ だけであること、(3) 緯度 z = cos(θ) が測定確率 (1+z)/2 を、経度 φ が相対位相を表すこと。この対応を握れば、量子ゲートを「球面上の回転」として読む次の段階へ自然に進めます。