密度行列と混合状態

状態ベクトルで書けない状態

ここまでの量子状態は、正規化された状態ベクトル |ψ⟩ で表す純粋状態でした。しかし現実の量子系には、状態ベクトル1本ではどうしても書けない状況が2種類あります。ひとつは古典的な無知——装置が確率 1/2 で |0⟩ を、確率 1/2 で |1⟩ を出すが、どちらが出たか記録していない、という状態。もうひとつは、もつれた合成系の片方だけを見る場合です。これらを統一的に扱う道具が密度演算子（密度行列） ρ で、量子情報・誤り訂正・オープン量子系の記述はすべてこの言語で書かれます。本記事では ρ の定義、満たすべき3性質、部分トレース、そしてブロッホ球内部との対応を、なぜそうなるかまで正確に追います。

純粋状態と混合状態

まず純粋状態を ρ で書き直します。状態 |ψ⟩ の密度演算子は、ケットとブラの外積（射影演算子）で定義します。

純粋状態:  ρ = |ψ⟩⟨ψ|

例えば |+⟩ = (|0⟩+|1⟩)/√2 なら、ρ = |+⟩⟨+| は行列表示で次のようになります。

        |0⟩    |1⟩
|0⟩ [  1/2    1/2 ]
|1⟩ [  1/2    1/2 ]

対角成分 1/2, 1/2 は計算基底での測定確率、非対角成分 1/2 は |0⟩ と |1⟩ の位相がそろっていることを示すコヒーレンス項です。

一方、混合状態は複数の純粋状態 |ψᵢ⟩ が古典確率 pᵢ（pᵢ ≥ 0、Σ pᵢ = 1）で混ざったもので、各射影子の確率加重和で定義します。

混合状態:  ρ = Σᵢ pᵢ |ψᵢ⟩⟨ψᵢ|

先の「確率 1/2 で |0⟩、確率 1/2 で |1⟩」を書くと、ρ = (1/2)|0⟩⟨0| + (1/2)|1⟩⟨1| で、行列は次のとおりです。

        |0⟩    |1⟩
|0⟩ [  1/2     0  ]
|1⟩ [   0     1/2 ]

密度演算子ρの3つの性質

任意の正当な ρ は、次の3条件を過不足なく満たします。逆に、この3条件を満たす行列は必ずある物理状態の密度演算子です。

エルミート性は ρ = Σ pᵢ|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| の各項 |ψᵢ⟩⟨ψᵢ| がエルミートで pᵢ が実数だから従います。トレース1は、外積のトレースが Tr(|ψᵢ⟩⟨ψᵢ|) = ⟨ψᵢ|ψᵢ⟩ = 1 なので Tr ρ = Σ pᵢ = 1 から出ます。半正定値性は任意の |φ⟩ について ⟨φ|ρ|φ⟩ = Σ pᵢ |⟨φ|ψᵢ⟩|² ≥ 0（pᵢ ≥ 0 かつ絶対値2乗が非負）で保証されます。

エルミートかつ半正定値なので、ρ は必ず固有値分解でき、固有値 λₖ は λₖ ≥ 0、Σ λₖ = 1 を満たします。これは固有値自体が確率分布を成すことを意味し、ρ = Σ λₖ|φₖ⟩⟨φₖ|（{|φₖ⟩} は直交固有基底）という対角化された混合表現がいつでも取れます。

純度：純粋か混合かを測る

純粋か混合かは、純度（purity） Tr(ρ²) という1つのスカラーで判定できます。

Tr(ρ²) = Σₖ λₖ²      （λₖ は ρ の固有値）

  純粋状態:      Tr(ρ²) = 1
  混合状態:      Tr(ρ²) < 1
  完全混合状態:  Tr(ρ²) = 1/d （d 次元での最小値、最も混ざった状態）

理由は固有値分布から明快です。純粋状態は固有値が {1, 0, ..., 0}（1つだけ1、残り0）なので Σ λₖ² = 1。混合状態は確率が複数に分散するため、Σ λₖ ≤ 1 の制約下で Σ λₖ² < 1 になります（確率を分散させると2乗和は必ず小さくなる）。d 次元で最も混ざった完全混合状態 ρ = I/d（I は単位行列）では全固有値が 1/d に等しく、Tr(ρ²) = d·(1/d)² = 1/d が下限です。1量子ビット（d=2）なら純粋で 1、完全混合で 1/2 の範囲を取ります。

部分トレースと縮約状態

合成系 AB の状態 ρ_AB から、片方の部分系 A だけの状態を取り出す操作が部分トレース（partial trace）です。相手系 B の自由度を「足し上げて消す」ことで、A の縮約密度行列（reduced density matrix） ρ_A を得ます。

ρ_A = Tr_B(ρ_AB) = Σⱼ (I_A ⊗ ⟨j|_B) ρ_AB (I_A ⊗ |j⟩_B)

ここで {|j⟩_B} は B の任意の正規直交基底です。ρ_A を使えば、A 側のどんな局所測定・期待値も Tr(A ρ_A) で正しく再現できます。B に何が起きても A の局所統計だけが欲しいとき、必要十分な情報が ρ_A に凝縮される——これが部分トレースの役割です。

決定的な事実は、もつれた純粋状態を部分トレースすると、部分系は混合状態になることです。ベル状態 |Φ⁺⟩ = (|00⟩+|11⟩)/√2 を例にとります。ρ_AB = |Φ⁺⟩⟨Φ⁺| は純粋（Tr(ρ_AB²)=1）ですが、B を部分トレースすると次のようになります。

ρ_A = Tr_B(|Φ⁺⟩⟨Φ⁺|)
    = (1/2)|0⟩⟨0| + (1/2)|1⟩⟨1|
    = I / 2          （完全混合状態、Tr(ρ_A²) = 1/2）

全体は最大限に純粋な状態なのに、片方だけを見ると完全混合——情報が完全に失われた状態に見えます。この落差こそが「もつれ」の定量的な指標で、ρ_A の混ざり具合（エントロピー）が大きいほど強くもつれています。

ブロッホ球の内部との対応

1量子ビットの ρ は 2×2 のエルミート行列で、パウリ行列 X, Y, Z と単位行列 I を使って必ず次の形に一意展開できます。3つの実係数 (rₓ, r_y, r_z) がブロッホ・ベクトルです。

ρ = (1/2)( I + rₓ X + r_y Y + r_z Z )

  rₓ = Tr(ρ X) = ⟨X⟩,  r_y = Tr(ρ Y) = ⟨Y⟩,  r_z = Tr(ρ Z) = ⟨Z⟩
  r = √(rₓ² + r_y² + r_z²)  （ブロッホ・ベクトルの長さ）

トレース1は自動で満たされ（Tr I = 2、パウリ行列はトレース0）、係数がパウリの期待値そのものになる点が要です。半正定値条件は ρ の2固有値 (1 ± r)/2 がともに 0 以上、すなわち r ≤ 1 と等価です。これでブロッホ球の内部（半径1以下の球体）と1量子ビット状態が1対1に対応します。

r = 1      → 純粋状態（球面）        Tr(ρ²) = 1
0 < r < 1  → 混合状態（球の内部）    Tr(ρ²) < 1
r = 0      → 完全混合状態 I/2（中心） Tr(ρ²) = 1/2

純度とブロッホ半径の関係は Tr(ρ²) = (1 + r²)/2 という1本の式で結ばれ、球面（r=1）で純度1、中心（r=0）で純度 1/2 を返します。純粋状態だけなら球「面」で足りるが、ノイズや部分トレースで生じる混合状態まで含めるには球「体」全体が要る——密度行列は、この球の内部を過不足なく記述するために必要な言語だと言えます。デコヒーレンスは幾何的には、ブロッホ・ベクトルが中心へ縮んでいく（非対角成分＝コヒーレンスが失われる）過程に対応します。

まとめ

密度演算子 ρ は、状態ベクトルでは書けない「古典確率で混ざった状態」と「もつれた系の部分」を統一的に記述する道具です。核心は4点。(1) 純粋は |ψ⟩⟨ψ|、混合は Σ pᵢ|ψᵢ⟩⟨ψᵢ| で、対角成分が測定確率、非対角成分がコヒーレンスを表す。(2) 正当な ρ はエルミート・トレース1・半正定値の3条件で特徴づけられ、純度 Tr(ρ²) が純粋（=1）か混合（<1）かを分ける。(3) 部分トレース Tr_B で相手系を消すと縮約状態が得られ、もつれた純粋状態の部分系は混合になる。(4) 1量子ビットの ρ はブロッホ・ベクトル r ≤ 1 でパラメータ化され、球面が純粋・内部が混合・中心が完全混合に対応する。純粋状態の理論を実機のノイズやオープン系へ橋渡しするのが、この密度行列の言語です。