量子もつれとベル状態

もつれを「式」で定義する

エンタングルメント（量子もつれ）は「離れた2粒子が瞬時に通信する」といった比喩で語られがちですが、正確な定義は純粋に線形代数の言葉で書けます。鍵は 合成系の状態ベクトルが、部分系のテンソル積に分解できるか否か の一点です。まずこの分解可能性を定義し、そこからベル状態・非局所相関・CHSH不等式までを一本の筋で追います。前提として、1量子ビットの状態は複素振幅 a・b（|a|²+|b|²=1）を使い a|0> + b|1> と書ける、2次元複素ベクトルだとします。

積状態：もつれていない状態

2つの量子ビット A・B を合わせた系は、テンソル積 |ψ_A> ⊗ |ψ_B> で表せます。A が a0|0>+a1|1>、B が b0|0>+b1|1> なら、合成状態は次のように展開されます。

|ψ_A> ⊗ |ψ_B>
 = (a0|0>+a1|1>) ⊗ (b0|0>+b1|1>)
 = a0·b0 |00> + a0·b1 |01> + a1·b0 |10> + a1·b1 |11>

このように 各部分系の状態の積として書ける合成状態を積状態（separable state、分離可能状態） と呼びます。積状態の決定的な特徴は、4つの係数が必ず c_xy = (A側の係数) × (B側の係数) という積の形になる点です。ここから、係数の間に次の制約が生まれます。

係数を c00,c01,c10,c11 とおくと
積状態  ⇔  c00 · c11 = c01 · c10

ベル状態：最大もつれの代表

分解不可能な状態の代表が ベル状態（Bell states） です。次の4つが基底をなし、いずれも2量子ビットの最大もつれ状態です。

|Φ+> = (|00> + |11>) / √2
|Φ-> = (|00> - |11>) / √2
|Ψ+> = (|01> + |10>) / √2
|Ψ-> = (|01> - |10>) / √2

|Φ+> を先ほどの判定式に当てはめると、c00 = c11 = 1/√2、c01 = c10 = 0 なので c00·c11 = 1/2 に対し c01·c10 = 0。等式が破れているため、|Φ+> は 積状態に分解できない=もつれている と即座に確認できます。

ベル状態の作り方：H と CNOT

ベル状態は、基本ゲート2つで機械的に生成できます。アダマールゲート H で重ね合わせを作り、CNOT で相関を焼き付ける のが定石です。まず各ゲートの作用を押さえます。

アダマール H :
  H|0> = (|0>+|1>)/√2
  H|1> = (|0>-|1>)/√2   （重ね合わせを生成）

制御NOT CNOT（制御=A, 標的=B）:
  |00> -> |00> ,  |01> -> |01>
  |10> -> |11> ,  |11> -> |10>
  （A が |1> のときだけ B を反転）

初期状態 |00>（A・B とも |0>）に、A へ H、続いて CNOT を掛けると次のように |Φ+> が得られます。

|00>
 --H(A)-->  (|0>+|1>)/√2 ⊗ |0>  = (|00> + |10>)/√2
 --CNOT-->  (|00> + |11>)/√2    = |Φ+>

H を掛けた直後は まだ積状態（(|0>+|1>)/√2 と |0> の積）である点が重要です。もつれを生むのは次の CNOT で、A と B の間に「A が1なら B も1」という条件付き反転を導入した瞬間に、二度と分離できない相関が焼き付きます。残り3つのベル状態も、初期ビットを変える（例えば B を |1> から始める、A に Z や X を追加する）ことで同様に生成できます。

非局所相関：古典では埋められない差

もつれの相関は、単なる「初めから答えを揃えて配った」古典相関とは本質的に異なります。古典的な説明を 局所隠れ変数（local hidden variable, LHV） と呼びます。これは「各粒子が測定される前から、あらゆる測定に対する答えを内部に持って運んでいる」という考え方で、次の2つを前提にします。

• 実在性：測定値は観測前から確定している（隠れ変数 λ が決めている）。
• 局所性：一方の測定設定は、離れた他方の測定結果に影響しない。

もつれ状態はこの枠組みで再現できません。ベル状態の相関は、両者の 測定基底の相対角度 に滑らかに依存し、古典的な「事前に決めた答え」では作れない角度依存を示します。ただし注意すべきは、測定結果そのものは各側ではランダム で、もつれを使って情報を瞬時に送ることはできない点です（無信号定理）。相関は測定結果を後で突き合わせて初めて見える、というのが正確な描像です。

CHSH不等式：非局所性を数で測る

LHV で説明できるか否かを実験で判定する道具が CHSH不等式（ベル不等式の一形式）です。A・B が各自2つの測定設定を持ち、結果を +1 / -1 とします。A の設定を a, a'、B の設定を b, b' とし、それぞれの結果の積の期待値（相関値）を E(a,b) などと書きます。CHSH量 S を次式で定義します。

S = E(a,b) + E(a,b') + E(a',b) - E(a',b')

局所隠れ変数が成り立つ世界では、各結果が事前に ±1 で決まっているため、S は必ず次の上限に収まります。

古典（LHV）の上限 :  |S| <= 2

ところが量子力学では、ベル状態に適切な測定角度を選ぶと S がこの壁を超えます。到達できる最大値は チレルソン限界（Tsirelson bound） と呼ばれ、次の値です。

量子の上限（チレルソン限界）:  |S| <= 2√2 ≈ 2.828

|S| > 2 が観測されれば、その相関は いかなる局所隠れ変数でも再現不可能——すなわち自然が非局所的であることの証拠になります。CHSHはこれを1つの数値の大小比較に落とし込んだ点で強力で、Aspect の実験以降、抜け穴を塞いだ検証でも 2 の破れが繰り返し確認されています。

まとめ

エンタングルメントは神秘ではなく、「合成状態がテンソル積に分解できない」という明確な代数的性質 です。分解可能性は c00·c11 = c01·c10 という等式の成否で判定でき、これが破れる |Φ+>=(|00>+|11>)/√2 などのベル状態が最大もつれの代表です。生成は H で重ね合わせを作り CNOT で相関を焼き付ける2手で足り、生まれた相関は局所隠れ変数では再現できません。その差を数値化するのが CHSH不等式で、古典上限 2 を量子は 2√2 まで破ります。この分離不可能性と非局所相関は、量子テレポーテーション・超密度符号化・量子鍵配送といった応用の共通基盤をなす中心概念です。とりわけ量子鍵配送は盗聴検知に相関の破れを利用するため、関連する暗号応用の観点は セキュリティ の記事群も参照してください。