量子テレポーテーションと超高密度符号化

もつれ＋古典通信で状態を「運ぶ」

量子テレポーテーションは、SF的な物質転送ではなく、未知の1量子ビットの状態を、もつれと古典通信だけで別の場所へ移す手続きです。ポイントは3つ。(1) 量子ビットそのものは飛ばさない、(2) 事前に共有したもつれ（エンタングルメント）を「触媒」として使う、(3) 2ビットの古典情報を普通の通信路で送る。この記事では手順を追って、なぜこれが成立し、なぜ複製禁止定理や相対論と矛盾しないかまでを詰めます。

登場人物は送信側の Alice と受信側の Bob。Alice は誰かから渡された未知の状態 |psi> = a|0> + b|1> を持っています。a と b は Alice にも分からない複素振幅で、|a|^2 + |b|^2 = 1 です。目標は、この a・b をそっくり Bob 側の量子ビットに再現することです。

準備：ベル状態というもつれ

手順の土台は、Alice と Bob が1組のもつれ（1 ebit）を事前共有していることです。標準的にはベル状態 |Phi+> = (|00> + |11>) / sqrt(2) を使います。左のビットを Alice、右のビットを Bob が保持します。この状態は、片方を測ると必ずもう片方の結果が相関する、古典確率では作れない相関を持ちます。もつれこそが以降の全手順を可能にする「触媒」です。

4つのベル状態は互いに直交し、2量子ビット空間の完全な基底（ベル基底）を成します。

|Phi+> = (|00> + |11>) / sqrt(2)
|Phi-> = (|00> - |11>) / sqrt(2)
|Psi+> = (|01> + |10>) / sqrt(2)
|Psi-> = (|01> - |10>) / sqrt(2)

テレポーテーションの手順

Alice は「未知の |psi>」と「もつれの自分側」の2量子ビットを、Bob は「もつれの Bob 側」の1量子ビットを持っています。全体の初期状態は |psi> (x) |Phi+> です（(x) はテンソル積）。これを Alice の2ビットについてベル基底で書き直すと、次の恒等式が成り立ちます。

|psi>_1 (x) |Phi+>_23
 = 1/2 [ |Phi+>_12 (x) (a|0> + b|1>)_3
       + |Phi->_12 (x) (a|0> - b|1>)_3
       + |Psi+>_12 (x) (a|1> + b|0>)_3
       + |Psi->_12 (x) (a|1> - b|0>)_3 ]

添字1が入力、2が Alice のもつれ側、3が Bob 側です。この式が全ての核心です。Alice がビット1と2をベル基底で測定すると、4つの結果が等確率 1/4 で出て、その瞬間 Bob のビット3が対応する状態に射影されます。

手順を整理すると次の通りです。

1. ベル測定：Alice がビット1・2をベル基底で測定し、結果を2ビットの古典情報 (m1, m2) として得る。
2. 古典通信：Alice がこの2ビットを、電話やネットなど普通の古典通信路で Bob へ送る。
3. 補正：Bob は受け取った2ビットに応じて、下表の1量子ビットゲートを自分のビット3に作用させる。

補正後、Bob のビット3は正確に a|0> + b|1>、すなわち元の |psi> になります。資源の収支は 1 ebit と 2 cbit を消費して、1量子ビットの未知状態を転送、とまとめられます。

複製禁止定理と矛盾しない理由

量子力学には、未知状態を完全にコピーするユニタリは存在しないという複製禁止定理（no-cloning theorem）があります。テレポーテーションはこれに反しないか——反しません。鍵は、手順1のベル測定が入力ビット1のもとの状態を破壊する点です。

超高密度符号化：資源を逆に使う

超高密度符号化（superdense coding）は、テレポーテーションと資源のやり取りが鏡写しの手順です。目的は「1量子ビットを送るだけで2ビットの古典情報を伝える」こと。前提として、やはり Alice と Bob が1組のベル状態 |Phi+> を事前共有しています。

Alice は伝えたい2ビット (b1, b2) に応じて、自分側のビットにだけローカルなゲートを作用させます。片側への操作でベル状態が別のベル状態に移るのがミソです。

Alice は操作後の自分側ビットを Bob へ物理的に1個だけ送信します。Bob は手元の2ビット（自分の元の半分＋届いたビット）をベル測定すれば、4つのベル状態を確実に区別でき、2ビットが復元されます。資源収支は 1 ebit を消費し、量子ビット1個の送信で 2 cbit を伝送。テレポーテーションの (1 ebit + 2 cbit → 1 qubit) に対し、こちらは (1 ebit + 1 qubit → 2 cbit) で、まさに双対です。

光速を超えて情報は送れない（no-communication）

「測った瞬間に相手側が確定するなら、超光速通信では？」——これは誤解で、もつれ単独では情報を1ビットも送れません（no-communication 定理）。理由を密度行列で押さえます。

テレポーテーションで Alice がベル測定した直後、Bob が結果をまだ知らない時点の Bob 側ビットを考えます。4つの結果が等確率で起きるので、Bob の状態は各補正前状態の統計的混合になります。この縮約密度行列を計算すると、Alice が何をしても常に最大混合 I/2 です。

rho_Bob = (1/4)( |a0+b1><a0+b1|
               + |a0-b1><a0-b1|
               + |a1+b0><a1+b0|
               + |a1-b0><a1-b0| )
        = I/2      （a, b や Alice の操作に依らず一定）

もつれは「相関」を作りますが、相関は送信者が受信者の観測結果を勝手に決められることとは別物です。ベル相関は測定結果同士を後から突き合わせて初めて見える相関であり、片方だけを見ても乱数にしか見えません。だから因果律も相対論も破れず、量子通信は必ず古典通信路とセットでしか完成しないのです。この帰結は 暗号やセキュリティ で量子鍵配送の安全性を論じる際の土台にもなります。

まとめ

量子テレポーテーションと超高密度符号化は、もつれ・古典通信・量子ビットという3つの資源を組み替える双対の手続きです。テレポーテーションはベル測定で入力を壊しつつ、2ビットの古典補正情報を通じて未知状態を Bob へ移し（1 ebit + 2 cbit → 1 qubit）、超高密度符号化はローカル操作でベル状態を4種に切り替え、1量子ビット送信で2ビットを運びます（1 ebit + 1 qubit → 2 cbit）。そして両者に共通する鉄則が、古典通信路なしには何も伝わらないこと——相手側の縮約密度行列が常に I/2 である以上、もつれは超光速通信の抜け道にはなりません。この「相関はあるが通信はできない」という一線こそ、量子情報が相対論と両立する要です。