変分量子アルゴリズム（VQE・QAOA）

なぜ「変分」なのか

いまの量子コンピュータは誤り訂正を持たず、回路を深くすればすぐノイズに埋もれます（この制約は NISQ 世代の本質です）。だとすれば戦略は一つ——量子回路は浅く保ち、重い最適化は古典計算機に逃がす。この発想を形にしたのが**変分量子アルゴリズム（VQA: Variational Quantum Algorithm）**です。VQE と QAOA はその二大看板で、どちらも「パラメータ化した浅い回路」と「古典最適化器」を往復するハイブリッドループという同じ骨格を共有します。

土台となる考え方は、量子力学の変分原理と、機械学習の勾配降下法に近い最適化です。まずは全体の回路構造から見ていきます。

パラメータ化量子回路（アンザッツ）

出発点は、回転角などのパラメータ θ によって作り出す量子状態が変わる回路です。これをアンザッツ（ansatz、試行関数）、または PQC（Parameterized Quantum Circuit）と呼びます。典型的には、RY(θ) や RZ(θ) のような角度付き1量子ビット回転ゲートと、CNOT などのエンタングルを作る固定ゲートを層状に積み上げます。

|0…0⟩ ─[ 回転ゲート層 R(θ_1) ]─[ エンタングル層 ]─[ R(θ_2) ]─ … ─▶ |ψ(θ)⟩
        θ = (θ_1, θ_2, …) が「回路の形」を決める調整つまみ

パラメータの並び θ を一組決めると、出力状態 |ψ(θ)⟩ が一つ定まります。逆に言えば、θ を動かすことで巨大なヒルベルト空間の中を、回路が到達できる範囲の状態だけ滑らかに探索できます。到達できる状態の集合をアンザッツの**表現力（expressibility）**と呼び、これが後のバレンプラトー問題と深く関わります。

ハイブリッドループ：量子と古典の往復

VQA の実行は、次の閉ループを収束するまで繰り返します。量子計算機は「状態を作って測る」ことだけを担当し、パラメータをどう動かすかの判断は古典計算機が下します。

① 古典側: パラメータ θ を用意（初回はランダム等）
② 量子側: アンザッツで |ψ(θ)⟩ を生成
③ 量子側: 目的の観測量を多数回測定し、期待値 E(θ) を推定
④ 古典側: E(θ) を評価し、最適化器で θ を更新（θ → θ')
⑤ ②へ戻る（E(θ) が収束するまで反復）

ここで重要なのは③です。量子測定は確率的なので、期待値 E(θ) を精度よく得るには同じ回路を多数回実行（ショット）して平均を取る必要があります。求める精度を ε とすると、必要ショット数は概ね O(1/ε²) に増え、これがVQAの実行コストの主因になります。④の古典最適化器には、勾配を使う手法（後述のパラメータシフト則など）と、勾配を使わない手法（COBYLA、Nelder–Mead 等）の両方が使われます。

VQE：基底状態エネルギーを変分原理で求める

VQE（Variational Quantum Eigensolver、変分量子固有値ソルバー） は、ある系のハミルトニアン H（エネルギーを表す演算子）の最小固有値＝基底状態エネルギーを求めるアルゴリズムです。分子の基底エネルギー計算など量子化学が主用途です。

理論的支柱は変分原理です。任意の状態 |ψ⟩ について、H の期待値は必ず真の基底エネルギー E_0 以上になります。

⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩  ≥  E_0    （任意の θ で成立、等号は基底状態のとき）

つまり E(θ) = ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ を θ について最小化すればするほど、真の基底エネルギーの上界（上限からの見積もり）が締まっていく。しかも最小化しすぎて E_0 を下回る心配がない——この片側の保証があるため、VQE は最適化が多少不完全でも「少なくともこの値までは下げられた」と意味づけできます。

実装上の鍵は、H を量子計算機で測れる形に分解することです。ハミルトニアンはパウリ演算子の積の重み付き和に書き下せます。

H = Σ_k  c_k · P_k      （P_k は I, X, Y, Z のテンソル積、c_k は実係数）
E(θ) = Σ_k  c_k · ⟨ψ(θ)|P_k|ψ(θ)⟩

期待値の線形性より、H 全体の期待値は各パウリ項 P_k の期待値を別々に測って足し合わせれば得られます。各 P_k はその測定基底に回してから測ればよいので、浅い回路のまま評価できます。項数 M が多い分だけ測定回数はかさむため、可換な項をまとめて同時測定するなどの工夫が実務では効きます。

QAOA：組合せ最適化を交互作用で近似する

QAOA（Quantum Approximate Optimization Algorithm、量子近似最適化アルゴリズム） は、Max-Cut のような組合せ最適化問題の近似解を狙う変分アルゴリズムです。解きたい問題を、そのコストを表すコストハミルトニアン H_C（最適解が最小エネルギーに対応するよう設計）にエンコードするところから始めます。

QAOA のアンザッツは、2種類の演算を交互に p 層重ねた特殊な形をしています。

|ψ(γ, β)⟩ = U_M(β_p) U_C(γ_p) … U_M(β_1) U_C(γ_1) |+…+⟩

U_C(γ) = exp(−i γ H_C)   コスト位相層：解の良し悪しを位相に刻む
U_M(β) = exp(−i β H_M)   ミキサー層  ：H_M = Σ X_j で状態を混ぜ替える

初期状態は全ビット重ね合わせの |+…+⟩（全候補解の均等な重ね合わせ）です。U_C が良い解ほど有利な位相を付け、U_M がその効果を確率振幅へと配り直す。これを p 層繰り返し、パラメータ γ = (γ_1…γ_p) と β = (β_1…β_p) を古典最適化で調整して、測定時に良い解が高確率で出るようにします。

VQE と QAOA は目的こそ違いますが、「パラメータ化回路＋古典最適化」という設計思想は完全に同型です。違いはアンザッツの構造と目的関数にあります。

勾配の求め方：パラメータシフト則

古典最適化に勾配を使う場合、問題は「量子回路の出力の微分をどう得るか」です。有限差分は測定ノイズに弱く不安定。そこで量子回路特有のパラメータシフト則（parameter-shift rule）が使われます。回転ゲートの期待値はパラメータに対して正弦的に振る舞うため、微分が同じ回路を角度だけずらして2回評価する差で厳密に書けます。

∂E/∂θ_i = ( E(θ_i + π/2) − E(θ_i − π/2) ) / 2

近似ではなく解析的に正確な勾配が、追加の回路実行だけで得られるのが利点です。パラメータ数 P に対して勾配全体の評価は O(P) 回の期待値推定で済みます。ただし各評価が多数ショットを要するため、パラメータが増えるほどコストは重くなります。

バレンプラトー問題：勾配が消える壁

VQA 最大の難所が**バレンプラトー（barren plateau、不毛の台地）**です。これは、量子ビット数 n が増えるにつれて目的関数の勾配（の分散）が指数的に0へ潰れ、コスト地形が広大な平坦地になってしまう現象です。平坦なので、どちらへ θ を動かせば改善するかの手がかりが消え、最適化が事実上進みません。

Var[ ∂E/∂θ ]  ~  1 / 2^n     （表現力の高いランダム回路での典型的な振る舞い）

勾配の分散が 1/2^n で縮むと何が起きるか——勾配を測定で見分けるには、その微小な値を分散 1/2^n 未満の精度で推定せねばならず、必要ショット数が量子ビット数に対して指数的に膨らみます。つまり「大きな問題ほど、一歩進むための測定コストが指数爆発する」。これでは量子加速の意味が失われます。

原因が「無構造な広さ」にあるので、対策は探索範囲を意図的に狭め、問題構造を回路に埋め込む方向に集約されます。

実務上の勘所

VQA は「量子が指数加速を約束する魔法」ではなく、現実のノイズと測定コストの制約下で成果を絞り出すための工学です。実装では次の三点が効きます。第一にアンザッツ設計——表現力を上げすぎればバレンプラトー、下げすぎれば答えに届かない、この綱渡りを問題構造で埋める。第二に測定コスト——期待値推定の O(1/ε²) ショットと項数 M の積が実行時間を支配するため、項のグルーピングが効く。第三に誤り緩和——訂正ではなく統計的後処理でノイズの影響を差し引き、浅い回路の結果を底上げする。この三本柱で、浅い回路という制約の中から使える精度を引き出します。

まとめ

変分量子アルゴリズムは、「浅い量子回路で状態を作って測り、重い最適化は古典に任せる」という一点で NISQ の制約と折り合いをつけた手法群です。VQE は変分原理を足場に、ハミルトニアン期待値 ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ の最小化で基底状態エネルギーの上界を締め、量子化学に道を開きます。QAOA はコスト層とミキサー層を交互に重ね、層数 p と引き換えに組合せ最適化の近似精度を上げます。両者を貫くのは、パラメータ化回路・測定・古典最適化のハイブリッドループという同型の設計思想です。ただし量子ビットを増やすと勾配が ~1/2^n で潰れるバレンプラトーという根本の壁があり、浅く問題構造に沿ったアンザッツ・局所コスト・賢い初期化、そしてノイズ低減がその回避策になります。VQA を正しく捉える鍵は、これを「無条件の加速」ではなく制約下の最適化工学として理解することにあります。より基礎の量子計算の枠組みは量子コンピューティングの各記事も合わせて参照してください。