畳み込みと線形時不変システム

なぜ「インパルス応答ひとつ」で全部わかるのか

信号処理と制御工学の土台にある最も強力な事実は、あるクラスのシステムは「単位インパルスを入れたときの出力」だけで挙動が完全に決まるというものです。この便利さの正体が線形時不変（LTI: Linear Time-Invariant）性であり、それを式にした演算が**畳み込み（convolution）**です。本記事では、なぜLTIならインパルス応答だけで十分なのか、畳み込みがどこから出てくるのか、そして因果性・安定性がどう判定できるのかを、離散時間を主軸に原理から追います。記号は LaTeX を使わず、添字つきのプレーンな式で表します。

システムを、入力信号 x を受け取り出力信号 y を返す写像 T と考えます。y = T{x} と書くと、T は無数の入力に対する応答の集まりであり、本来これを全部知るのは不可能です。ところが T が LTI であれば、たった1本の信号 —— 単位インパルスへの応答 —— を測るだけで T 全体が再構成できます。この「圧縮」がLTI理論の核心です。

LTI の2条件：線形性と時不変性

LTI は名前どおり2つの性質の連言です。両方を満たすシステムだけが、以降で導く畳み込み表現を持ちます。

**線形性（重ね合わせの原理）**は、入力の一次結合に対する出力が、各出力の同じ一次結合になる性質です。入力 x1 の出力を y1、x2 の出力を y2 とすると、任意の定数 a, b について次が成り立ちます。

線形性:  T{a·x1 + b·x2} = a·T{x1} + b·T{x2}

これは「加法性（足してから通す＝通してから足す）」と「斉次性（定数倍が素通りする）」をまとめたものです。

時不変性は、入力を時間方向に d だけ遅らせると、出力も同じ d だけ遅れるだけで波形が変わらない性質です。

時不変性:  T{x[n]}  = y[n]   ならば   T{x[n-d]} = y[n-d]

任意信号を単位インパルスに分解する

畳み込みを導く鍵は、どんな離散信号も、ずらして重み付けした単位インパルスの和に分解できることです。単位インパルス（クロネッカーのデルタ）を、n = 0 でだけ 1、他で 0 の信号 delta[n] と定義します。すると任意の x[n] は次のように書けます。

x[n] = Σ_k  x[k]·delta[n-k]      k は全整数にわたる和

delta[n-k] は「時刻 k にだけ立つ棒」で、それに実際の値 x[k] を重みとして掛けています。つまり x は、各時刻の値を高さに持つインパルスを並べたものだ、という当たり前の事実を式にしただけです。しかしこの分解が、次のステップで威力を発揮します。

分解＋LTI ＝ 畳み込み

delta[n] を入力したときの出力をインパルス応答 h[n] = T{delta[n]} と定義します。ここで分解した x をシステムに通し、LTIの2条件を順に適用します。

y[n] = T{ Σ_k x[k]·delta[n-k] }
     = Σ_k x[k]· T{delta[n-k]}     ← 線形性（和と定数倍を外に出す）
     = Σ_k x[k]· h[n-k]            ← 時不変性（delta[n-k]→h[n-k]）

こうして得られる式が**畳み込み和（convolution sum）**であり、y = x * h と書きます。導出を見ればわかるとおり、線形性で総和と重みを演算子の外に出し、時不変性で delta[n-k] の応答を h[n-k] に置き換えている——この2手それぞれがLTIの片方の条件に対応しています。だからLTIでなければ畳み込みにはなりません。

離散（畳み込み和）:  y[n] = Σ_k  x[k]·h[n-k]  =  Σ_k  h[k]·x[n-k]
連続（畳み込み積分）: y(t) = ∫ x(τ)·h(t-τ) dτ  =  ∫ h(τ)·x(t-τ) dτ

連続時間では単位インパルスがディラックのデルタ関数、総和が積分に置き換わるだけで、構造は完全に同じです。インパルス応答 h さえ手元にあれば、任意入力に対する出力が畳み込み一発で計算できる——これがLTIシステムを「h ひとつで完全記述できる」と言う理由です。

畳み込みの「反転してずらす」直観

畳み込み和 Σ_k h[k]·x[n-k] は、機械的には次の手順で計算します。時間反転 → シフト → 要素ごとの積 → 総和の4段です。この「反転」が、後述する因果性や、相互相関との違いを理解する鍵になります。

1. 反転 : h[k] を k について反転し h[-k] を作る
2. シフト: それを n だけずらして h[n-k] にする
3. 積   : 各 k で x[k]·h[n-k] を掛ける
4. 総和 : k について全部足すと y[n] が1点だけ求まる

因果性：未来を先取りしないか

システムが**因果的（causal）**とは、時刻 n の出力が「その時刻までの入力」だけで決まり、未来の入力に依存しないことを言います。畳み込み和で y[n] = Σ_k h[k]·x[n-k] を見ると、未来の入力 x[n-k]（k が負のとき n-k が n より大きい）を参照しないための条件は、インパルス応答のインデックスが負の部分がすべて 0 であることだと即座に読み取れます。

因果的  ⇔  h[n] = 0   （すべての n が 0 未満で）

リアルタイムに動くフィルタや制御器は物理的に未来を知り得ないため、因果的でなければ実装できません。逆に、収録済みデータをオフラインで処理する場合は非因果的フィルタ（前後両方向を参照）も使え、位相ひずみを避けられる利点があります。

安定性：入力が有界なら出力も有界か（BIBO）

実用上もっとも重要な安定性の基準が BIBO 安定性（Bounded-Input Bounded-Output）です。あらゆる有界入力に対して出力が必ず有界にとどまるとき、システムはBIBO安定と言います。LTIシステムでは、この性質がインパルス応答の絶対総和（連続系では絶対可積分）という、h だけで書ける明快な条件と同値になります。

BIBO 安定  ⇔  Σ_n |h[n]| < ∞        （離散: 絶対総和可能）
BIBO 安定  ⇔  ∫ |h(t)| dt  < ∞       （連続: 絶対可積分）

なぜこの形になるのか。入力の大きさを |x[n]| ≤ B（有界）と置くと、出力は三角不等式で次のように抑えられます。

|y[n]| = | Σ_k h[k]·x[n-k] |
       ≤ Σ_k |h[k]|·|x[n-k]|
       ≤ B · Σ_k |h[k]|

右辺が有限であるためには Σ|h[k]| が有限であればよく、これが十分条件です。さらに、x[n-k] を h[k] の符号に合わせて ±B に取る入力を構成すると出力が B·Σ|h[k]| に到達するため、必要条件でもあることが示せます。ゆえに絶対総和可能性はBIBO安定性と過不足なく一致します。

まとめ

LTIシステムがこれほど扱いやすいのは、任意入力を単位インパルスの重ね合わせに分解し、線形性と時不変性を適用するだけで、出力がインパルス応答との畳み込みに帰着するからです。要点は、(1) LTIは線形性（重ね合わせ）と時不変性の連言であり両方が必須であること、(2) 分解と2条件から畳み込み和 y = x * h（連続では畳み込み積分）が一意に導かれ、h ひとつでシステムが完全記述できること、(3) 畳み込みは可換・結合・分配で、直列システムを合成できること、(4) 因果性は「負インデックスの h が 0」、BIBO安定性は「h の絶対総和が有限」と、いずれも h の形だけで判定できること。インパルス応答という1本の信号に、システムのすべての情報が凝縮されている——これがLTI理論の到達点です。