ポリフェイズフィルタバンク

「作ってすぐ捨てる」を消す発想

間引き（デシメーション）は、フィルタを通した後にサンプルを M 個おきに1個だけ残し、残り M-1 個を捨てる処理です。素朴に実装すると、捨てるサンプルの出力まで律儀に計算してしまいます。ポリフェイズフィルタバンクは、この「作ってすぐ捨てる」無駄をフィルタの構造そのもので取り除く技法です。本稿では、FIR を位相成分へ分解するポリフェイズ構造、マルチレート処理（間引き・補間）との結合、均等サブバンド分割が DFT へ帰着する仕組み、そして演算量が M 分の1になる理由を原理から追います。土台となる 標本化定理とエイリアシング と FIRフィルタとIIRフィルタ を前提に進めます。

まず記法を決めます。ダウンサンプラ（M 間引き）は M サンプルに1個を残す演算、アップサンプラ（L 倍補間）はサンプル間に L-1 個の 0 を挿入する演算です。ダウンサンプラの入出力は次式です。

y[n] = x[M * n]         （M 間引き：M サンプルに1個を残す）

M-1 個の中間サンプルは出力に一切現れません。ならばそれを生む乗算も要らないはずだ、というのがすべての出発点です。

ポリフェイズ分解：係数を位相で仕分ける

長さ N の FIR h[k]（k = 0 .. N-1）を考えます。係数番号 k を M で割った余り（k mod M）でグループ分けし、M 組の部分列を作ります。これがポリフェイズ成分です。第 p 成分 e_p は、元の係数から p 番目、p+M 番目、p+2M 番目…と M おきに拾った列です。

e_p[m] = h[M * m + p]        p = 0 .. M-1,  m = 0,1,2,...

各 e_p は元フィルタの「位相をずらした間引き版」で、まさに位相（フェイズ）で仕分けた成分なので ポリフェイズ（多相） と呼びます。畳み込みをこの仕分けで書き直すと、フィルタ全体は M 本の短いサブフィルタの和として表せます。z 変換で見ると、元の伝達関数は各位相成分を z^{-p} で遅延させて足したものに一致します。

H(z) = Σ_{p=0}^{M-1}  z^{-p} * E_p(z^M)

ここで E_p は係数 e_p の z 変換です。分解自体は等価変形にすぎず、単独では演算量は変わりません。効果はマルチレート演算と組み合わせた瞬間に現れます。この式変形の背景には、遅延を z^{-1} で表す z 変換の多項式表現がそのまま効いています。

ノーブルアイデンティティ：順序を入れ替える

マルチレートの心臓部が ノーブルアイデンティティ（恒等式） です。これは「フィルタと間引き・補間の順序を、フィルタの引数を書き換えることで交換できる」という規則です。

この恒等式は無条件では使えません。フィルタが z^M の関数、つまり係数が M サンプル間隔で並ぶ疎な形をしているときだけ成立します。ポリフェイズ分解が E_p(z^M) という「まさに z^M の形」を生むのは、この恒等式を適用可能にするためのお膳立てなのです。

デシメータへの適用：演算を低レート側へ

M 間引きデシメータ（アンチエイリアス LPF H(z) の後に M 間引き）にポリフェイズ分解を代入します。H(z) = Σ z^{-p} E_p(z^M) の各枝は「E_p(z^M) を通し、z^{-p} で遅延し、最後に M 間引き」という構造になります。ここでノーブルアイデンティティを使うと、z^M の中身だった E_p を間引きの 後ろ側（低レート側） へ移せます。結果、各位相成分 E_p は入力の M 分の1のレートで走ります。

入力を M 系統に分配（commutator：入力を p=M-1..0 の順に配る）
  枝 p : E_p(z) を低レート（fs/M）で実行
出力  : M 本の枝の出力を加算

入力サンプルを回転式スイッチ（コミュテータ）で M 本の枝へ順に振り分け、各枝を低レートの短い FIR に通して足すだけになります。捨てるサンプルは端から計算されません。

インターポレータ：補間は対称に成立する

L 倍補間（L-1 個の 0 を挿入してから補間 LPF H(z) を通す）も、補間側のノーブルアイデンティティで同じ節約ができます。挿入された 0 に係数を掛けても 0 にしかならない——この無駄を消すのがポイントです。ポリフェイズ分解を使うと、フィルタ演算を アップサンプル前の低レート側 で実行し、その出力をコミュテータで束ねて高レート列を作れます。

有理数レート変換（L/M 倍）は補間デシメータの縦続で、両方の無駄が同時に出ます。ポリフェイズ化すると、演算をレートの低い側へ寄せて両方をまとめて削れます。マルチレートは 標本化定理とエイリアシング のオーバーサンプリングと表裏で、アナログ負担をデジタルの効率的な間引きへ移す実装基盤になっています。

サブバンド分割と DFT フィルタバンク

フィルタバンクは、入力を複数の周波数帯（サブバンド）へ分ける 分析バンク と、それらを再び合成する 合成バンク の対で構成されます。均等幅の M バンドを個別のバンドパス FIR で作ると、M 本ぶんの畳み込みが要り高価です。ここでポリフェイズが決定的に効きます。

均等分割の各バンドフィルタは、1本の プロトタイプ・ローパス H(z) を周波数軸で M 等分の位置へずらした変調版として作れます（h_k[n] = h[n] * exp(j 2π k n / M)）。この変調構造をポリフェイズ分解と突き合わせると、M 本のバンド出力は「プロトタイプの M 個の位相成分の出力に対する M 点 DFT」に厳密に一致します。

分析バンク = 入力をコミュテータで M 分配
           → 各枝でプロトタイプの位相成分 E_p を低レート実行
           → M 個の枝出力に M 点 DFT（実装は FFT）

これが DFT フィルタバンク（均等変調フィルタバンク） で、通信のチャネライザ（多数の等間隔チャネルを一括で切り出す）、オーディオコーデックのサブバンド符号化、音声のフィルタバンク前処理などで広く使われます。合成側は逆 DFT とポリフェイズを対称に組みます。

完全再構成という設計目標

分析でサブバンドへ分け、合成で戻したとき、遅延を除いて入力と厳密に一致すること（各サブバンドを間引いてもエイリアスが打ち消されること）を 完全再構成（PR） と呼びます。均等 M バンドを M 間引きすると各サブバンドはナイキストぎりぎりまで詰まり、隣接バンドの折り返しが避けられません。

つまりポリフェイズは「効率」を、プロトタイプ設計と直交条件は「再構成の正しさ」を担います。両者は独立で、効率化してもエイリアス相殺の設計は別途詰める必要があります。

まとめ

ポリフェイズフィルタバンクは、マルチレート処理に潜む「作ってすぐ捨てる」無駄を、フィルタの構造そのもので除去する技法です。要点は、(1) FIR を係数番号 mod M でポリフェイズ成分 E_p に分解すると H(z) = Σ z^{-p} E_p(z^M) と書け、これがノーブルアイデンティティ適用の準備になること、(2) 恒等式でフィルタ演算を間引き・補間のレートが低い側へ移せ、演算量がおおよそ M 分の1になること、(3) 均等サブバンド分割はプロトタイプの変調に等しく、ポリフェイズ成分の出力への DFT（FFT）へ厳密に帰着すること、(4) 効率化と完全再構成は別問題で、間引きのエイリアス相殺はプロトタイプの直交条件で保証すること、です。ソフトウェア無線のチャネライザ、オーディオ／画像のサブバンド符号化、高効率なサンプルレート変換まで、離散信号を「レートを跨いで」扱うあらゆる場面でこの構造が土台になります。