マッチトフィルタと相関

雑音の中の「既知の形」を最良で探す

信号処理で繰り返し現れる問題があります。あらかじめ形が分かっている波形 s が、雑音に埋もれた受信信号のどこかに含まれているか、含まれるなら「いつ」来たかを判定したい——レーダの反射パルス、通信のプリアンブル、GPS の測距符号、いずれも本質は同じです。この検出を、線形フィルタの中で最も確実に行うのが**マッチトフィルタ（matched filter, 整合フィルタ）であり、その計算実体が相関（correlation）**です。本記事では、なぜ相関が最適なのか、なぜ出力ピークのSNRが最大になるのか、そしてレーダのパルス圧縮や通信の同期でどう効くのかを、白色雑音を前提に原理から追います。記号は LaTeX を使わず、添字つきのプレーンな式で表します。

相互相関・自己相関：反転しない畳み込み

まず相関そのものを定義します。2つの信号 x と s の**相互相関（cross-correlation）**は、s をラグ（ずらし量）m だけずらして重ね、要素ごとに掛けて総和を取る演算です。実信号なら次のように書けます。

相互相関:  r_xs[m] = Σ_n  x[n] · s[n-m]
自己相関:  r_ss[m] = Σ_n  s[n] · s[n-m]

畳み込みが「反転してからずらす」のに対し、相関は反転せずにずらす——これが唯一かつ決定的な違いです。式で見ると、相互相関は s を時間反転した信号との畳み込みに一致します。

r_xs[m] = ( x * s_rev )[m]      ただし  s_rev[n] = s[-n]

つまり相関は畳み込みの一種として、同じ高速アルゴリズム（FFT による高速畳み込み）で計算できます。相関には2つの重要な性質があります。第一に、自己相関はラグ0で最大になり、その値は信号のエネルギー（パワー）に等しくなります。r_ss[0] = Σ s[n]^2 = E です。ラグをずらすほど波形どうしの重なりが崩れ、値は一般に小さくなります。第二に、自己相関のフーリエ変換はパワースペクトルに等しい——これがウィーナー・ヒンチンの定理で、時間領域の相関と周波数領域のスペクトルを結ぶ橋になっています。

マッチトフィルタ：時間反転共役をインパルス応答にする

では、雑音の中から s を検出する線形フィルタを1つ設計するとします。フィルタのインパルス応答を h とすると、出力は入力 x と h の畳み込みです。ここで h をどう選べば「s が来た瞬間の出力」が最も際立つか。答えは、s を時間反転した（複素信号なら共役も取った）ものをインパルス応答にすることです。長さ N の有限長信号なら次のように置きます。

h[n] = s*[N-1-n]        （* は複素共役、実信号なら h[n] = s[N-1-n]）

この h を使うと、フィルタ出力は入力と s の相互相関そのものになります。畳み込みの中で h が s を反転させているため、反転が二重にかかって「反転なし」＝相関に戻るからです。

y[n] = (x * h)[n] = Σ_k x[k]·s*[k-(n-N+1)]  =  r_xs に一致（適切なラグで）

入力に信号 s そのものが含まれていれば、出力にはその自己相関 r_ss が現れ、**ラグ0に相当する時刻でピーク（値はエネルギー E）**が立ちます。これが「マッチト（整合した）」という名の由来です。フィルタが探すべき波形の形に、あらかじめ自分の応答を合わせ込んでいるわけです。

なぜSNRが最大化されるのか：シュワルツの不等式

マッチトフィルタが単に「ピークを作る」だけでなく最適である理由は、出力のピーク瞬時SNRを、線形フィルタの中で最大化する点にあります。加法性白色雑音（AWGN）を前提に、その骨子を追います。出力の信号成分ピークは、フィルタ応答 H（周波数領域）と信号スペクトル S を使うと ∫ H·S df の形で書け、出力雑音パワーは白色雑音の密度 N0/2 と ∫|H|^2 df で決まります。したがって最大化したいのは次の比です。

SNR_peak =  |∫ H(f)·S(f) df|^2  /  ( (N0/2) · ∫ |H(f)|^2 df )

ここでコーシー・シュワルツの不等式が効きます。分子の内積 ∫H·S は、|H| と |S| のノルムの積で上から抑えられ、等号が成り立つのは H が S の（共役）定数倍のとき、すなわち H(f) = c·S*(f) のときだけです。この周波数領域の条件を時間領域に戻すと、まさに h[n] = s*[N-1-n]（時間反転共役）になります。等号成立時の最大SNRは、信号エネルギー E と雑音密度だけで決まる、きれいな形をとります。

最大 SNR = 2E / N0        （E は信号エネルギー、N0 は雑音の片側電力密度）

相関と畳み込み、マッチトフィルタの関係

3つの演算の関係を整理します。マッチトフィルタは「フィルタ」という装置の名前、相関は「その中身」の演算、畳み込みは「実装の骨格」です。

レーダとパルス圧縮：長い符号を圧縮する

マッチトフィルタが最も鮮やかに効くのがレーダのパルス圧縮です。レーダは「遠くまで届くエネルギー」と「近接目標を分離する距離分解能」を同時に欲しがりますが、この2つは素朴には両立しません。距離分解能は送信パルスの帯域幅で決まり（帯域が広いほど細かく分離できる）、一方で検出可否は前述のとおりエネルギーで決まります。短いパルスは帯域が広く分解能は高いものの、ピーク電力に上限があるとエネルギーが稼げず遠距離で検出できません。

パルス圧縮はこのジレンマを解きます。周波数を掃引するチャープや位相符号（バーカー符号など）で変調した長いパルスを送り、受信側でそのパルスにマッチトフィルタ（相関）を掛けます。すると出力では、長く広がっていたエネルギーが自己相関の鋭いピーク1本に圧縮されます。長さゆえにエネルギー（＝検出距離）を確保しつつ、変調帯域ゆえに圧縮後のピークが鋭くなり距離分解能も得る——両取りが成立します。

圧縮利得（SNR改善） ≈ 時間帯域幅積 = パルス幅 T × 帯域幅 B
圧縮後のピーク幅     ≈ 1 / B         （帯域が広いほど鋭い＝高分解能）
距離分解能           ≈ c / (2B)      （c は光速）

通信での相関：同期とシンボル判定

デジタル通信でも相関はいたるところで働きます。第一にフレーム同期です。受信機はまず既知のプリアンブル（例：バーカー符号や m 系列）を相関で探し、ピークが立った位置をフレーム先頭＝タイミング基準とします。自己相関がラグ0で鋭く尖り他で小さい符号ほど、同期が正確かつ誤検出に強くなります。

第二に、シンボル判定そのものがマッチトフィルタです。送信パルス整形（ルートレイズドコサインなど）を施した各シンボルを、受信側で同じ波形のマッチトフィルタに通し、シンボル中心時刻で標本化します。これはAWGN下でシンボル誤り率を最小化する最適受信であり、同時に符号間干渉を抑える役割も果たします。第三に、CDMA や GPS では受信機がローカルに生成した拡散符号との相関でユーザや衛星を分離・測距します。いずれも「既知波形との内積を掃引してピークを見つける」という、本記事で見た一本の原理の応用です。

まとめ

マッチトフィルタは、雑音に埋もれた既知波形 s を検出する線形フィルタであり、インパルス応答を s の時間反転共役 h[n]=s*[N-1-n] に取ると、出力は x と s の相互相関に一致します。要点は、(1) 相関は「反転しない畳み込み」で、自己相関はラグ0で最大かつエネルギーに等しく、そのフーリエ変換がパワースペクトルになること、(2) このフィルタが白色雑音下でピークSNRを最大化する最適検出器であり、その根拠はコーシー・シュワルツの不等式の等号条件 H=c·S* にあること、(3) 達成できる最大SNR 2E/N0 は波形の形に依らずエネルギーだけで決まるため、ピーク電力に上限があってもパルスを長くして検出性能を稼げること、(4) この事実がレーダのパルス圧縮を支え、長い符号化パルスを鋭いピークへ圧縮して検出距離（エネルギー）と距離分解能（帯域幅）を両取りすること、(5) 通信でも同期・シンボル判定・拡散符号分離が同じ相関原理で動くこと。「探したい形に自分を合わせ込み、内積のピークを掃引する」——この一貫した発想が、レーダから通信までを貫くマッチトフィルタの核心です。