量子化とADCのノイズ

デジタル化に必ず付く「量子化ノイズ」

連続的なアナログ信号をデジタルにするには、時間方向の標本化（サンプリング）と振幅方向の量子化が要ります。標本化は理論上は情報を失いませんが、量子化は連続的な振幅を有限個の段に丸めるため、原理的に誤差が避けられません。この誤差が量子化ノイズです。ここではその電力・ビット深度との関係・ディザ・変換器の内部動作・オーバーサンプリングを、式を追いながら原理レベルで開けます。数式は LaTeX を使わず、添字つきのプレーンな式で表します。

分解能 N ビットの ADC は、フルスケール電圧 FS を 2^N 段に分割します。1段（最下位ビット、LSB）の幅を量子化ステップ q と呼び、次で定まります。

q = FS / 2^N

例えば FS = 1 V、N = 12 なら q = 1 / 4096 ≒ 244 μV。入力はこの q 刻みの最も近い代表値に丸められ、真値との差が量子化誤差 e になります。

量子化誤差の電力：q^2/12 が核心

四捨五入型の量子化では、誤差 e は -q/2 から +q/2 の範囲に収まります。入力が信号として十分に変化し、量子化ステップをまたいで動くとき、e は区間 [-q/2, +q/2] 上の一様分布の乱数として近似できます（量子化ノイズモデル）。一様分布の分散＝ノイズ電力は次のように積分で求まります。

Pq = (1/q) ∫  e^2 de   （積分区間 e = -q/2 .. +q/2）
   = q^2 / 12

この q^2/12 が量子化ノイズ電力の基本式です。実効値（RMS）でいえば q / √12 ≒ 0.29 q。重要なのは、この電力が入力信号の大きさに依らずステップ幅 q だけで決まる点で、後述の SNR やオーバーサンプリングの議論はすべてここから出発します。

量子化SNRとビット深度：1ビット＝約6dB

信号電力を Ps とすると、量子化SNR（SQNR）は Ps / Pq です。評価の基準として、振幅がフルスケール一杯（ピークで ±FS/2）の正弦波を入れます。この正弦波の電力は (FS/2)^2 / 2 = FS^2 / 8 で、FS = q · 2^N を代入すると次を得ます。

SQNR = Ps / Pq = (FS^2 / 8) / (q^2 / 12)
              = (12 / 8) · (2^N)^2
              = 1.5 · 2^(2N)

これをデシベルにすると、量子化理論で最も有名な式が現れます。

SQNR[dB] = 10·log10(1.5 · 2^(2N))
         = 6.02·N + 1.76   [dB]

係数 6.02 が「1ビットで約6dB」の正体です。log10(2^2) = 2·0.301 = 0.602 を10倍した値で、定数 1.76 dB はフルスケール正弦波という基準の取り方（10·log10(1.5)）から来ます。この基準を外れると値が変わる点に注意が必要です。

ディザ：歪みを「聞こえないノイズ」に変える

低振幅信号で量子化誤差が信号と相関すると、耳障りな高調波歪みが生じます。これを避けるのがディザ——量子化する前に振幅 q 程度の微小なランダムノイズをわざと加える手法です。信号に揺らぎを与えることで、量子化のたびに丸め方向がランダムに変わり、誤差が信号と無相関な白色ノイズに化けます。

量子化前:  x_dithered = x + d        （d は振幅 ~q の乱数）
効果:      信号相関の歪み  →  平坦な広帯域ノイズ

歪みの総電力自体はむしろ増えますが、エネルギーが特定の高調波に集中せず全帯域へ均されるため、聴感上・スペクトル上は大きく改善します。人間の聴覚は平坦なノイズより離散的な歪み成分を強く検知するため、オーディオの16ビット化やビット深度削減（24→16ビット等）で標準的に使われます。三角確率密度（TPDF）ディザは、誤差の分散を入力に依存させない性質があり最もよく用いられます。

ADC／DACの原理：逐次比較とΔΣ

ADC は連続量を数値に変換します。代表方式が逐次比較型（SAR）で、内蔵DACが生成する参照電圧と入力を比較器で比べ、上位ビットから1ビットずつ二分探索的に確定させます。N ビットで N 回の比較を要し、中速・高分解能・低消費電力で汎用に広く使われます。高速用途では全レベルを同時比較するフラッシュ型、超高分解能では次のΔΣ（デルタシグマ）型が使われます。

DAC はデジタル値をアナログに戻す逆変換で、各ビットに重み付けした電流や電圧を合成（R-2R ラダー等）し、後段のローパスフィルタで階段状の出力を平滑化します。ADC も DAC も、量子化ステップ q の丸めがある限り q^2/12 の量子化ノイズからは逃れられません。

オーバーサンプリング：帯域を広げてノイズを薄める

量子化ノイズ電力 q^2/12 は総量として固定です。しかしこのノイズは0 から fs/2（ナイキスト周波数）までほぼ平坦に広がるため、サンプリング周波数 fs を上げると、同じ総電力がより広い帯域に薄く延ばされます。信号帯域幅を B、fs / (2B) をオーバーサンプリング比 OSR とすると、後段のデジタルフィルタで帯域外ノイズを除去した後、信号帯域に残るノイズ電力は次のように下がります。

帯域内ノイズ = (q^2 / 12) · (2B / fs) = (q^2 / 12) / OSR

改善量[dB]   = 10·log10(OSR)

OSR を4倍にすると帯域内ノイズが6dB下がり、実効分解能が1ビット増える計算です（10·log10(4) ≒ 6.02 dB）。ただし単純なオーバーサンプリングは1ビット稼ぐのに4倍のOSRが要り、効率が悪いのが弱点です。

ΔΣ変調器はこの原理をさらに推し進め、ノイズシェーピングで量子化ノイズを信号帯域から高域へ積極的に追いやります。帰還ループで量子化誤差を高域通過特性で成形するため、同じOSRでも単純オーバーサンプリングよりはるかに大きな帯域内SNRが得られ、1ビット量子化器でも実効24ビット相当を達成できます。これがオーディオADC／DACの主流がΔΣである理由です。

まとめ

量子化ノイズは変換器の欠陥ではなく、連続を離散に丸める以上必ず生じる原理的な誤差です。要点は、(1) 誤差電力は q^2/12 でステップ幅だけに依存すること、(2) フルスケール正弦波のSQNRは 6.02N + 1.76 dB で1ビットが約6dBに相当すること、(3) 低振幅で相関する歪みはディザで白色ノイズに化けさせ可聴的に改善できること、(4) オーバーサンプリングは帯域内ノイズを 1/OSR に薄め、ΔΣのノイズシェーピングがそれを加速すること。これらは信号のデジタル化を扱うあらゆる場面——電源のフィードバック制御から音声・計測まで——で共通の土台になります。