デルタシグマ変調

1ビットで高分解能を出すという逆説

ふつうに考えれば、分解能を上げるには量子化器のビット数を増やすしかありません。ところがオーディオや高精度計測で使われるΔΣ（デルタシグマ）変調は、わずか1ビット（2値）の量子化器で実効16〜24ビット相当のSNRを叩き出します。この一見矛盾した芸当を可能にするのが、オーバーサンプリングとノイズシェーピングの組み合わせです。ここでは、なぜ帰還ループと積分器を置くと量子化ノイズが信号帯域から追い出せるのか、その伝達関数の導出から高次化・安定性・デシメーションまでを原理レベルで開けます。式は LaTeX を使わず、z 変換のプレーンな記法で示します。

出発点は量子化ノイズの基本性質です。分解能 N ビット・ステップ幅 q の量子化で生じる誤差電力は q の二乗を12で割った q^2/12 で、これは 0 から fs/2 までほぼ平坦に広がります（詳細は量子化とADCのノイズ）。信号帯域 B に対して fs/(2B) をオーバーサンプリング比 OSR と呼ぶとき、単純に高い fs で標本化して帯域外を捨てるだけでも帯域内ノイズは 1/OSR に薄まります。しかしこの方式は1ビット稼ぐのにOSRを4倍にする必要があり、効率が悪い。ΔΣはこの平坦なノイズ分布そのものを成形して、信号帯域を空ける方向へノイズを寄せます。

デルタとシグマ：差分をとって積分する

ΔΣ変調器の最小構成は、加算器（差分器）・積分器（シグマ）・1ビット量子化器・1ビットDACの帰還路からなります。動作は次の流れです。入力から前回の出力（DAC値）を引き（デルタ＝差分）、その差を積分器で足し込み（シグマ＝積算）、結果を量子化器で1ビットに丸め、その出力をDACで戻して次の差分に使う——この閉ループが要点です。

e[n]  = x[n] − y[n-1]        （デルタ：入力と帰還の差）
w[n]  = w[n-1] + e[n]        （シグマ：積分器で誤差を積算）
y[n]  = quantize(w[n])       （1ビット量子化：符号だけ見て ±1）

直観的には、積分器が「入力と出力の食い違い（誤差）を溜め込む」ため、誤差が溜まると量子化器の出力がそれを打ち消す向きに反転します。結果として出力1ビット列の局所的な平均が入力値を追うように自動調整される。1ビットしか出さないのに情報が保てるのは、時間方向に高速に反転を繰り返し、その密度（1と0の比率）で中間値を表現しているからです。この「積分してから量子化する」構造が、周波数領域でノイズシェーピングとして現れます。

ノイズシェーピングの正体：NTFとSTF

量子化器の非線形な丸めを、線形モデルでは「入力に量子化ノイズ E(z) を加算する加算器」として扱います。すると量子化器出力は w + E になり、ループ全体を Z変換 で解けます。1次ループ（積分器の伝達関数を 1/(1−z^-1) とする）では、出力 Y(z) は入力成分とノイズ成分の和として次のように分離できます。

Y(z) = STF(z)·X(z) + NTF(z)·E(z)

STF(z) = z^-1          （信号伝達関数：単なる1サンプル遅延）
NTF(z) = 1 − z^-1      （ノイズ伝達関数：高域通過）

ここが全ての核心です。信号は STF で素通し（遅延のみ）される一方、量子化ノイズには NTF = 1 − z^-1 という高域通過フィルタがかかる。1 − z^-1 は z = 1（直流）で振幅ゼロ、z = -1（ナイキスト）で最大となる差分特性です。つまり低い周波数ほどノイズが強く抑圧され、信号帯域のノイズは激減し、その分が高域へ押し上げられます。総ノイズ電力は保存されますが、信号のいる低域を空けて高域に山を作るため、後段のローパスで高域を捨てれば実効SNRが跳ね上がる、という理屈です。

NTF の帯域内での抑圧量は周波数に比例する差分特性から効きます。信号帯域を OSR で狭くとるほど NTF の遮断が深い領域だけを使うため、帯域内ノイズは OSR とともに急落します。1次ループを積分すると帯域内ノイズ電力は概ね OSR^3 に反比例し、SNR改善は OSR 2倍あたり約9dB（実効1.5ビット）になります。単純オーバーサンプリングの3dB／2倍と比べて圧倒的に効率的です。

次数を上げる：積分器を重ねる

積分器を直列に重ねてループ次数 L を上げると、NTF は (1 − z^-1)^L となり、高域通過の傾きが急峻になります。これにより信号帯域のノイズがさらに深く抑圧され、同じ OSR でも実効分解能が大きく伸びます。次数ごとの帯域内ノイズと SNR 改善の目安は次の通りです。

一般に L 次では帯域内ノイズが OSR^(2L+1) に反比例し、SNR改善は OSR 2倍あたり約 (6L+3) dB になります。例えば2次ループで OSR = 64 なら、1ビット量子化器でも16ビット超のSNRが得られます。オーディオDACで OSR を数十〜数百にとり、24ビット相当を実現できるのはこの高次シェーピングのおかげです。

1ビットDACの決定的な利点

ΔΣが1ビット量子化を好むのは効率だけが理由ではありません。2値のDACは原理的に完全リニアだからです。多ビットDACは各ビットの重み（抵抗値・電流源）に製造ばらつきがあり、その不一致が非直線性（INL/DNL）として歪みを生みます。ところが出力レベルが2点しかない1ビットDACは、2点を結ぶ直線しか引けず、定義上ゲイン誤差とオフセット以外の歪みが存在しません。この完全な直線性が、ΔΣが超低歪みを要求するオーディオ・計測で選ばれる本質的な理由です。

デシメーション：高速1ビット列を多ビットに戻す

ΔΣ変調器の生の出力は fs（＝ナイキストレートの OSR 倍）の高速な1ビット列で、高域には成形されたノイズがぎっしり乗っています。これを実用的な多ビット・低レートのデータに変換するのがデシメーションフィルタです。処理は2段で、まずデジタルローパスフィルタで fs/2 付近に追いやった高域ノイズを除去し、次に**間引き（デシメーション）**でサンプルレートをナイキストレートまで落とします。ローパスで帯域外ノイズを削ってから間引くので、折り返し（エイリアシング）を起こさずにレートを下げられます。

[ΔΣ変調器] → 高速1ビット列(fs) → [デジタルLPF] → [間引き 1/OSR] → 多ビット出力(2B)

実装では、積算と間引きだけで構成でき乗算器の要らない CIC（sinc）フィルタを前段に置き、後段で急峻な FIR/IIR フィルタ（FIR/IIRフィルタを参照）で帯域を仕上げる縦続構成が定番です。CIC は 1/(1−z^-1) の積分と 1−z^-M の櫛でできており、ΔΣ変調器側の積分と対をなす美しい構造になっています。デシメーションこそが、時間方向の高速な1ビット情報を振幅方向の多ビット精度へ「両替」する工程だと捉えると全体像が繋がります。

まとめ

ΔΣ変調は「積分器を帰還ループに入れて量子化ノイズを高域へ成形する」という一手で、1ビットの粗い量子化から高分解能を引き出します。要点は、(1) 信号は STF で素通しされノイズだけ NTF = 1 − z^-1 の高域通過を受けるノイズシェーピングが核心であること、(2) ループ次数 L とオーバーサンプリング比 OSR を上げると帯域内ノイズが OSR^(2L+1) で急落しSNRが跳ね上がること、(3) 1ビットDACは原理的に完全リニアで超低歪みを実現できること、(4) 高速1ビット列はデシメーションで多ビット低レートへ戻すこと、(5) 高次化は安定性とのトレードオフであること。時間分解能を振幅分解能へ変換するこの発想は、オーディオADC/DACから量子化ノイズを抑えたい高精度計測、さらにはクラスDアンプの変調まで、現代の高精度変換の土台になっています。