フィードバックと安定性（ナイキスト）

負帰還はなぜ効き、なぜ発振するのか

負帰還（negative feedback）は、出力の一部を入力から差し引いて「目標との誤差」を自動修正する仕組みです。オペアンプ回路・電源のフィードバック・モーター制御・PLL まで、精度と安定性を支える基盤です。ところが同じループが、ある条件で外部入力なしに振動し続ける発振に転じます。本稿では、開ループと閉ループの関係・ナイキスト線図とボード線図・ゲイン余裕と位相余裕・発振条件を、記号つきのプレーンな式で原理から追います。記号は LaTeX を使わず添字式で表します。

順方向（フォワード）経路の伝達関数を G、帰還経路を H とします。入力 r、出力 y、誤差 e = r - H*y のとき、y = G*e を代入して解くと閉ループ伝達関数が得られます。

y = G*(r - H*y)
=> y*(1 + G*H) = G*r
=> Gcl = y/r = G / (1 + G*H)

ここで L = G*H をループ利得（loop gain、開ループ伝達関数 open-loop transfer function）と呼びます。閉ループの分母は 1 + L。この「1 + ループ利得」が安定性のすべてを握ります。

開ループ・閉ループ・ループ利得を区別する

三つの伝達関数は明確に別物です。混同すると議論が崩れます。

L が実数で十分大きい（GH が1よりずっと大きい）帯域では、Gcl ≒ G/(GH) = 1/H となり、閉ループ利得は帰還 H だけでほぼ決まります。順ゲイン G の個体差や温度変動に鈍感になる——これが負帰還が精度をもたらす理由です。代償として利得は G から 1/H 付近まで下がり、利得帯域幅積は保存されるため速度と引き換えになります。

発振の条件：負帰還が正帰還に反転する

分母 1 + L がゼロになる周波数、すなわち L = -1 の点で Gcl は発散します。L を複素数として周波数応答 L(jw) で考えると、L(jw) = -1 は「振幅が1、位相が-180°」を意味します。この状態では、帰還で1周する間に信号の位相が180°反転し、入口で引くはずの帰還が加算に転じる（負帰還が正帰還に反転する）。しかも1周しても振幅が減らないため、外部入力ゼロでも振動が自己維持します。これが自励発振の境界で、発振器で積極的に使うときはバルクハウゼンの条件と呼びます。

発振（不安定）の境界条件（周波数 w_osc で同時成立）:
  |L(jw_osc)| = 1        （1周して振幅が減らない）
  ∠L(jw_osc) = -180°     （1周して位相が反転し帰還が加算になる）

|L| > 1 かつ位相-180°なら振幅は毎周増幅され、非線形の飽和が振幅を頭打ちにするまで成長します。制御系ではこれは故障ですが、発振回路ではこの成長と飽和を利用して安定した振幅の波形を得ます。

ナイキスト線図：-1 点の左右で決まる

ナイキスト線図は、周波数 w を負の無限大から正の無限大まで動かしたときの L(jw) を複素平面に描いた軌跡です。安定判別の主役は複素平面上の点 -1 + 0j（-1 点）で、軌跡がこの点をどう回るかを見ます。

ナイキストの安定判別法：閉ループの不安定極の個数 Z は、Z = N + P で決まります。P は開ループ L が持つ右半平面の極（不安定極）の個数、N は L(jw) の軌跡が -1 点を時計回りに囲む回数です。閉ループが安定であるには Z = 0、すなわち N = -P が必要です。

Z = N + P
  Z : 閉ループの右半平面極（不安定極）の数 … 0 なら安定
  P : 開ループ L の右半平面極の数
  N : ナイキスト軌跡が -1 点を時計回りに囲む回数（反時計回りは負）

ボード線図とゲイン余裕・位相余裕

ナイキスト線図と同じ情報を、横軸周波数（対数）で振幅（dB）と位相（度）に分けて描くのがボード線図です。実務ではこちらで余裕を読みます。定義に関わる二つの周波数があります。

• ゲイン交差周波数 wgc：|L| が1（0 dB）になる周波数。
• 位相交差周波数 wpc：位相が-180°になる周波数。

位相余裕 PM = 180° + ∠L(jw_gc)      （|L|=1 の点で、-180° まであと何度あるか）
ゲイン余裕 GM = 1 / |L(jw_pc)|        （位相-180° の点で、|L| が1になるまで何倍上げられるか）
                = -20*log10|L(jw_pc)| [dB]

位相余裕は「振幅が1になった時点で、位相-180°まで残っている角度」。ゲイン余裕は「位相が-180°になった時点で、|L| が1に達するまで許されるゲイン倍率」。どちらも**-1 点までの距離**を別角度で測った量で、大きいほど安定です。実務の目安は位相余裕45〜60°、ゲイン余裕6〜12 dB 程度。位相余裕が小さいと、閉ループ応答は減衰の悪い共振ピークを持ち、ステップ応答は行き過ぎ（オーバーシュート）とリンギングを示します。

なぜ位相余裕が減衰特性を決めるのか

位相余裕は閉ループの減衰比とほぼ対応します。標準的な2次系近似では、位相余裕 PM（度）と減衰比 ζ の間に ζ ≒ PM/100（PM がおよそ70°未満の範囲での近似）という経験則が成り立ちます。位相余裕60°で ζ ≒ 0.6（穏やかな応答）、30°で ζ ≒ 0.3（大きなオーバーシュート）、0°で ζ = 0（持続振動＝発振の縁）というわけです。したがって「速くしたい」＝ wgc を上げると、高域で溜まった位相遅れのぶん位相余裕が痩せ、応答が暴れる——この速応性と安定性のトレードオフが帰還設計の核心です。位相進み補償（リード補償）は wgc 付近に進み位相を注入して余裕を回復する常套手段です。

まとめ

負帰還の効きと危うさは、ともに閉ループ分母 1 + L（L = GH）に凝縮されます。L が大きいほど外乱・素子ばらつきを 1/(1+L) に圧縮して精度を稼げますが、L を一周させる間に位相が-180°回り、その周波数で |L| が1に達すると負帰還が正帰還へ反転し発振します。この境界からの距離を、ナイキスト線図では -1 点への近さ、ボード線図ではゲイン余裕（位相-180°での振幅の逆数）と位相余裕（|L|=1 での位相の余り）として定量化します。位相余裕は閉ループの減衰比に直結し、速応性を上げるほど痩せる——安定性と速さの綱引きこそが帰還設計の本質です。土台となる周波数応答と対数軸の見方は、電源のフィードバックを扱う 電源 や、増幅回路の素子特性を扱う ハードウェア部品 と合わせて押さえると理解が定着します。