システム同定

物理を組まずにモデルを得る

制御やシミュレーションにはモデルが要りますが、対象の物理を一から立式（第一原理モデリング）できる場面は限られます。反応器の熱物性が未知、モータの機械定数がばらつく、対象が複雑すぎて方程式に落ちない——こうしたとき、入力 u を加えて出力 y を測り、そのデータから対象を再現する数理モデルを逆算するのがシステム同定です。ホワイトボックス（物理式）でもブラックボックス（データのみ）でもなく、測定に基づく点が決定的な違いです。

同定の出力は多くの場合、離散時間の伝達関数か差分方程式です。連続系のラプラス伝達関数ではなくサンプリングされた z 領域の表現を推定するのが実務の主流で、ここはZ変換と離散時間システムの枠組みがそのまま土台になります。この記事では、モデル構造（ARX/ARMAX）、最小二乗推定、励振信号と持続的励振、検証と過適合の見抜き方までを原理から開きます。

モデル構造：ARX と ARMAX

同定はまずモデル構造、すなわち差分方程式の形を決めることから始まります。基本になるのが **ARX（AutoRegressive with eXogenous input）**です。過去の出力（自己回帰 AR）と過去の入力（外部入力 X）で現在の出力を説明します。

ARX: A(q) y[n] = B(q) u[n] + e[n]

  A(q) = 1 + a1 q^-1 + ... + a_na q^-na   （出力側, na 次）
  B(q) = b1 q^-1 + ... + b_nb q^-nb        （入力側, nb 次, むだ時間 nk 遅延）
  q^-1 : 1サンプル遅延演算子（Z変換の z^-1 に対応）
  e[n] : 予測できない残差（雑音）

書き下すと y[n] = -a1 y[n-1] - ... + b1 u[n-1] + ... + e[n] となり、現在の出力が過去の入出力の重み付き和で表されることがわかります。分母 A(q) が極を、分子 B(q) が零点を与える点で、これは帰還構造を持つIIRフィルタとまったく同じ形です。同定とは、この係数 a・b をデータから決める作業に他なりません。

ARX の弱点は雑音の入り方にあります。e[n] が A(q) で割られた形で出力に乗る、つまり雑音が有色（相関を持つ）だと係数推定が偏ります。そこで雑音側にも多項式を与えたのが **ARMAX（AutoRegressive Moving Average with eXogenous input）**です。

C(q) = 1 + c1 q^-1 + ... を足した ARMAX は雑音の相関を明示的にモデル化でき、係数の偏りを避けられます。代償として推定式が係数について非線形になり、後述の一発解法が使えません。まず ARX で当たりをつけ、残差に相関が残れば ARMAX へが定石です。

最小二乗推定：なぜ ARX は一発で解けるのか

ARX が実務の入口になる最大の理由は、予測誤差が推定パラメータについて線形だからです。パラメータをまとめて θ = [a1 ... a_na, b1 ... b_nb]、過去の入出力を並べた回帰ベクトル φ[n] を次のように置きます。

φ[n] = [ -y[n-1], ..., -y[n-na], u[n-nk], ..., u[n-nk-nb+1] ]ᵀ
1ステップ予測: ŷ[n] = φ[n]ᵀ θ
予測誤差:      ε[n] = y[n] - φ[n]ᵀ θ

出力予測 ŷ[n] が θ の線形結合になっているのが要点です。全サンプルの回帰ベクトルを縦に積んだ行列 Φ と出力ベクトル Y を作れば、二乗誤差 Σ ε[n]² を最小化する θ は正規方程式で閉じた形に解けます。

Φᵀ Φ θ = Φᵀ Y
θ̂ = (Φᵀ Φ)^-1 Φᵀ Y      （最小二乗解）

これは対象がどんな次数でも凸最適化で一意の最小点に到達する——反復も初期値も局所解の心配も要りません。この解きやすさこそ ARX が同定の標準的な第一手である理由です。

(Φᵀ Φ)^-1 が計算できる、すなわち Φᵀ Φ が正則であることが解の存在条件です。この正則性を実データ側で保証する条件が、次の持続的励振に他なりません。

励振信号と持続的励振

同定は入力が対象を十分に揺さぶって初めて成立します。極端な例として、入力を一定値に保つと出力も定常値に張り付き、どの係数の組でも同じ出力を説明できてしまう——係数が決まりません。数式では Φᵀ Φ がランク落ちして逆行列が存在しない状態です。これを避ける条件が**持続的励振（persistent excitation, PE）**です。

だからこそ同定用の入力は「豊かなスペクトル」を持つよう設計します。代表格が **PRBS（Pseudo-Random Binary Sequence, 疑似ランダム2値信号）**です。2値なのでアクチュエータで正確に再現でき、白色雑音に近い広帯域スペクトルを持ちながら周期的で再現性がある——同定入力の定番です。

同定入力の設計指針:
  帯域    : 対象の支配的な時定数・共振を確実に含む周波数まで励起する
  振幅    : S/N を確保しつつ非線形域に踏み込まない範囲に収める
  種類    : PRBS / マルチサイン / チャープ。単一正弦は PE 次数が低く不可
  長さ    : 過渡が減衰し十分なサンプル数が貯まるまで印加する

検証と過適合：残差を疑う

係数が求まっても、それが対象を正しく捉えたかは別問題です。ここで過適合（overfitting）——モデルがデータの雑音まで暗記し、次数を上げるほど当てはまりは良く見えるのに未知データで外す——を切り分ける必要があります。判断は残差 ε[n] を疑うことから始めます。

第一の検定が残差の白色性です。モデルが対象の説明可能な成分を汲み尽くしていれば、残差は白色雑音（自己相関なし）になるはずです。残差の自己相関にピークが残る、あるいは残差と過去入力に相関があるなら、まだモデル化できる構造が残っている＝モデルが不十分（次数不足や構造の誤り）だと判断します。

第二の、そして過適合を最も直接に暴くのが別データでの検証です。同定に使ったデータへの当てはまりは次数を上げれば単調に良くなるため、当てはまり度だけでは過適合を検出できません。そこでデータを推定用と検証用に分け、推定に使っていないデータで予測誤差を評価します（クロスバリデーション）。次数を上げていくと、検証データの誤差はある次数で底を打ち、そこを超えると逆に悪化に転じます。この底が適切なモデル次数です。

状態空間モデルとの接続

差分方程式（伝達関数）だけでなく、状態空間モデルを直接同定する道もあります。入出力データから状態遷移行列などを一括推定する部分空間同定（subspace identification, N4SID など）で、多入力多出力（MIMO）系を次数を明示せず扱いやすいのが強みです。得られる A, B, C, D の枠組みと、可制御性・可観測性・オブザーバ設計へのつながりは状態空間表現と現代制御がそのまま受け皿になります。物理的な意味を一部だけ組み込み、残りをデータで埋めるグレーボックス同定も、既知の構造を状態空間に固定してパラメータだけ推定する形で実装されます。

まとめ

システム同定は、物理を組まずに入出力データから対象のモデルを逆算する手法です。要点は、(1) まず ARX でモデル構造を決めると予測誤差が係数について線形になり最小二乗で一意に解ける（白色ガウス雑音下では最尤に一致）こと、(2) 雑音が有色なら雑音多項式 C を加えた ARMAX へ進むが非線形最小二乗が要ること、(3) 推定の成立には持続的励振が不可欠で、モデル次数を賄う周波数成分を持つ PRBS などで対象を十分に揺さぶること、(4) 過適合は残差の白色性と別データでのクロスバリデーションで見抜き、検証誤差が底を打つ次数を選ぶこと。この「構造を決めて最小二乗で解き、励振を確保し、残差で疑う」という流れを押さえれば、伝達関数から状態空間まで、データ駆動のモデリングを同じ骨格で見通せるようになります。