伝達関数とラプラス変換

なぜ「変換」してから解くのか

線形時不変（LTI）系の振る舞いは、本来は微分方程式で記述されます。たとえば入力 x(t) と出力 y(t) が a·y'' + b·y' + c·y = x のような関係で結ばれます。時間領域でこれを直接解くのは、たたみ込み積分や特性方程式の場当たり的な処理を伴い骨が折れます。

そこで登場するのがラプラス変換です。時間の関数を複素周波数 s の関数へ写すこの変換は、微分を s の掛け算に、たたみ込みを単なる掛け算に変えるという決定的な性質を持ちます。結果として微分方程式は代数方程式に化け、系の応答は「割り算」で求まります。この記事では、ラプラス変換・伝達関数・極と零点・ステップ応答と時定数・周波数応答の関係を、原理から順に開封します。

ラプラス変換の定義と核心的性質

ラプラス変換は、時間 t ≥ 0 で定義される関数 f(t) を次の積分で F(s) に写します。s = σ + jω は複素数です。

F(s) = L{f(t)} = ∫[0..∞] f(t) · e^(-s·t) dt

制御で効いてくるのは、次の3つの性質です。とくに1つ目の微分則が、微分方程式を代数化する原動力になります。

微分則     : L{f'(t)}  = s·F(s) - f(0)          （初期値ゼロなら s·F(s)）
積分則     : L{∫f dt}  = F(s) / s
たたみ込み : L{(f*g)(t)} = F(s) · G(s)

伝達関数 H(s) の定義

初期値をすべて 0 とした状態で、系のラプラス変換後の出力 Y(s) と入力 X(s) の比を伝達関数と呼び、H(s) と書きます。

H(s) = Y(s) / X(s)          （全初期値ゼロのもとで）
Y(s) = H(s) · X(s)          （時間領域のたたみ込み y = h * x に対応）

先の微分方程式 a·y'' + b·y' + c·y = x を、微分則（初期値ゼロ）で変換すると (a·s² + b·s + c)·Y(s) = X(s) となり、ただちに次を得ます。

H(s) = 1 / (a·s² + b·s + c)

一般に H(s) は s の有理関数（多項式の比）になります。分子多項式を N(s)、分母多項式を D(s) として H(s) = N(s) / D(s) と書くのが標準形です。時間領域のたたみ込み y(t) = (h * x)(t) が、s 領域では単なる積 H(s)·X(s) に化けている点に注目してください。厄介な積分が掛け算になったことが、伝達関数の実務的な威力です。

極と零点：系の性格を決める根

有理関数 H(s) = N(s) / D(s) について、次のように定義します。

• 零点（zero）: 分子 N(s) = 0 の根。そこで H(s) = 0 になる s。
• 極（pole）: 分母 D(s) = 0 の根。そこで H(s) が発散する s。

極は系の固有の応答モードを表します。各極 s = p は時間領域で e^(p·t) という項を生み、これらの重ね合わせが自由応答になります。したがって極の位置を複素平面（s 平面）上で見れば、安定か発散か、振動するかしないかが読み取れます。

1次系：時定数 T の正体

最も基本的な1次系の伝達関数は、次の標準形で書けます。K はゲイン、T は時定数です。

H(s) = K / (T·s + 1)

分母 T·s + 1 = 0 を解くと、極はただ1つ s = -1/T です。極の実部が負なので T > 0 なら常に安定で、極の位置が時定数の逆数に等しいという重要な対応が見えます。極が原点から遠い（-1/T が大きく負）ほど T は小さく、応答は速くなります。

この系に大きさ A のステップ入力（X(s) = A/s）を加えたときの出力を逆変換すると、次の時間応答になります。

y(t) = K·A · (1 - e^(-t/T))

t = T を代入すると 1 - e^(-1) ≈ 0.632。つまり最終値の 63.2% に達するまでの時間が時定数 Tです。さらに t = 4T でおよそ 98%、t = 5T で 99.3% に到達し、実務ではおおむね 4T〜5T を整定時間の目安にします。

2次系：減衰比と固有振動数

2次系は標準形 H(s) = ωn² / (s² + 2·ζ·ωn·s + ωn²) で表され、ωn を固有角周波数、ζ（ゼータ）を減衰比と呼びます。極は分母＝0 から求まり、ζ の値で性格が一変します。

s = -ζ·ωn ± ωn·√(ζ² - 1)

• ζ が 1 未満（不足減衰）: 極は複素共役ペアになり、e^(-ζ·ωn·t)·cos(...) の形で行き過ぎ（オーバーシュート）を伴う減衰振動を示す。
• ζ = 1（臨界減衰）: 極が実軸上に重解。振動せず最速で収束する境目。
• ζ が 1 より大（過減衰）: 相異なる2実根。振動しないが立ち上がりは遅い。

ζ が小さいほどオーバーシュートは大きく、ζ = 0 では極が虚軸上に乗り、減衰しない持続振動になります。制御器設計では応答速度とオーバーシュートのバランスから ζ の目標値（0.7 前後が定番）を決めます。

周波数応答：s = jω が橋渡しする

伝達関数の変数 s を、虚軸上に限定して s = jω（実部ゼロ、ω は角周波数）と置いたものが周波数応答 H(jω) です。これは正弦波入力に対する定常応答を、複素数の形で完全に記述します。

入力  x(t) = sin(ω·t)  に対する定常出力は
出力  y(t) = |H(jω)| · sin(ω·t + ∠H(jω))

つまり H(jω) の絶対値 |H(jω)| が振幅比（ゲイン）、偏角 ∠H(jω) が位相のずれを与えます。ゲインを対数（デシベル）、位相を角度で ω に対して描いたのがボード線図です。極や零点は、その周波数付近でゲイン・位相曲線を折り曲げる「コーナー周波数」として現れます。

s 平面という統一的な地図

ここまでを一枚の地図にまとめると、伝達関数 H(s) の極・零点を s 平面にプロットすることが、系を理解する最短経路だと分かります。横軸（実軸）が減衰の速さ、縦軸（虚軸）が振動の周波数を表す座標系です。

まとめ

ラプラス変換の本質は、微分を s の掛け算に、たたみ込みを掛け算に変えることにあります。これにより LTI 系の微分方程式は代数方程式になり、出力は Y(s) = H(s)·X(s) という割り算・掛け算で求まります。伝達関数 H(s) = N(s)/D(s) の極（分母の根）が系の応答モードと安定性を、零点が応答の形を決めます。極が s 平面の左半面にあれば安定、右半面にあれば発散する——この一点が制御設計の背骨です。1次系では極 s = -1/T が時定数を直接与え、ステップ応答の 63.2% 到達時刻として観測でき、s = jω に沿って評価すればそのまま周波数応答（-3dB カットオフ ω = 1/T）になります。時間・周波数・s 平面の3つの視点が伝達関数一枚で結ばれることが、この道具の最大の価値です。関連する数学的背景は プログラミング の数値計算や、応用先として ハードウェアコンポーネント・電源 のフィルタ・レギュレータ設計も参照してください。