パストレーシングと大域照明

大域照明とは「光が跳ね返り合う状態」を解くこと

3D シーンをリアルに見せる肝は影の付け方ではなく、光が面から面へ何度も跳ね返って回り込む 効果をどこまで再現できるかにあります。白い壁の横に赤い箱を置くと壁がほんのり赤く染まる「色移り（color bleeding）」、光源が直接当たらない天井裏がぼんやり明るくなる間接光、これらはすべて光の多重反射から生まれます。光源からの1回の反射だけを計算する 直接照明（direct illumination） に対し、任意回数の反射をまとめて扱うのが 大域照明（global illumination, GI） です。

パストレーシングは、この GI を「1つの数式を数値的に解く」という一貫した枠組みで実現する手法です。アドホックな影・反射の足し合わせではなく、物理法則そのものを積分方程式として立て、それをモンテカルロ法で解きます。だからこそ、追加のトリックなしに色移りも柔らかい影も焦線（コースティクス）も自然に出てきます。

レンダリング方程式 ── GI の支配方程式

1986 年に Kajiya が定式化したレンダリング方程式は、ある表面点 x から方向 wo へ出ていく放射輝度（radiance）を次のように定めます。地の文では積分を擬似的に書き下します。

Lo(x, wo) = Le(x, wo) + ∫[Ω] f(x, wi, wo) · Li(x, wi) · cosθi  dwi

  Lo : 点 x から出射方向 wo へ出ていく放射輝度（求めたい量）
  Le : 点 x が自ら発する放射輝度（光源なら非ゼロ、通常面はゼロ）
  ∫[Ω]: 上半球 Ω 全体にわたる入射方向 wi の積分
  f  : BRDF（双方向反射率分布関数）。wi から入り wo へ反射する割合
  Li : 方向 wi から点 x に入ってくる放射輝度
  cosθi : 入射方向と面法線の角度による減衰（幾何項）

この式の本質は 再帰 にあります。入射光 Li(x, wi) は、方向 wi の先にある別の点 y から出射する光 Lo(y, -wi) そのものです。つまり Lo を求めるには Li が要り、Li を求めるにはまた別の Lo が要る——光が跳ね返るたびに方程式が自分自身を呼び出します。GI とはこの再帰を（近似的に）解き切ることに他なりません。

モンテカルロ積分による解法

モンテカルロ積分は、積分を「ランダムな標本点での被積分関数の平均」として推定します。積分 I = ∫ g(x) dx を、確率密度関数 p に従って抽出した N 個の標本で近似します。

I ≈ (1/N) · Σ[k=1..N]  g(Xk) / p(Xk)          （Xk 〜 p）

  ・p(Xk) で割るのは、選ばれやすい標本を過大評価しないための補正
  ・N を増やすほど真の値に収束（大数の法則）
  ・この推定量は不偏（期待値が真の積分値に一致）

パストレーシングでは、カメラから画素ごとに光線を飛ばし、面に当たるたびに BRDF などに従って次の反射方向をランダムに選び、光源に当たるか打ち切るまでパスを伸ばします。1本のパスがレンダリング方程式の1標本に対応し、画素あたり多数のパス（サンプル）を平均して色を決めます。

問題は収束の遅さです。モンテカルロ推定の 標準誤差は 1/√N でしか減りません。ノイズ（推定の分散の見た目）を半分にするには標本を4倍、1/10 にするには100倍必要です。この非効率が、素朴なパストレーシング画像に残る粒状ノイズの正体です。分散を減らす工夫が実用化の鍵になります。

重要度サンプリング ── 寄与の大きい方向を狙う

分散削減の王道が 重要度サンプリング（importance sampling） です。標本を一様にばらまくのではなく、被積分関数 g が大きい領域に確率密度 p を寄せます。理想は p を g に比例させることで、そのとき推定量の分散はゼロになります（各標本の g/p が定数になるため）。

レンダリングでは g = f · Li · cosθ なので、これに近い形を狙って主に2種類のサンプリングを組み合わせます。

BRDF サンプリングだけだと小さな光源を偶然しか捉えられず影がザラつきます。逆に光源サンプリングだけだと鏡面反射で光源の像がうまく出ません。複合重要度サンプリング（MIS, multiple importance sampling） は両方から標本を取り、各標本にバランスヒューリスティックなどの重みを掛けて結合することで、どちらの状況でも破綻しない推定を与えます。物理ベースレンダラの標準装備です。

ロシアンルーレット ── 不偏に打ち切る

再帰は原理上無限に続きますが、反射のたびに光はエネルギーを失うため、深いパスの寄与はごく小さくなります。とはいえ一定深度で機械的に打ち切ると、そこから先の光を捨てることになり、画像が暗くなる バイアス が入ります。

これを回避するのが ロシアンルーレット（Russian roulette） です。パスを続けるか確率的に決め、生き残ったパスの寄与を継続確率で割り増して埋め合わせます。

継続確率を q（例: 反射率などから決める。0 < q ≤ 1）とする

  乱数 ξ を [0,1) から引く
  もし ξ が q 以上なら  → パスをここで終了（寄与 0）
  そうでなければ        → 反射を続け、その寄与を 1/q 倍する

  期待値: q · (寄与/q) + (1−q) · 0 = 寄与
  → 平均すれば打ち切っても真の値と一致する（不偏）

ミソは、打ち切っても 期待値が変わらない（unbiased） ことです。個々のパスは早く終わったり長く伸びたりしますが、多数平均すれば正しい明るさに収束します。継続確率をパスの現在の重み（それまでの反射率の積など）に応じて決めると、寄与が小さいパスほど早く枝刈りされ、計算予算を寄与の大きいパスへ回せます。結果として、無限再帰を有限時間で不偏に扱えます。

ノイズと収束、そして実務での立ち位置

パストレーシングの誤差は理論上ノイズ（分散）だけで、標本を増やせば真値へ収束する不偏推定です。ここが、光を格子で離散化して系統誤差（バイアス）を持つラジオシティなどとの決定的な違いです。ノイズは「時間をかければ必ず消える」種類の誤差なので、品質と計算時間を素直にトレードできます。

とはいえ 1/√N の収束は遅く、リアルタイム用途ではサンプル数を稼げません。そこで実務では次の合わせ技が使われます。

• デノイズ: 少ないサンプルの粒状画像を機械学習ベースのフィルタ（例: OptiX/OIDN 系）で平滑化し、見た目のノイズを除く。ここに GPU の AI 推論器（/ai/ の技術基盤）が活きます。
• ハードウェアレイトレーシング: 光線と三角形の交差判定を専用回路で加速する GPU（/hardware-components/ 参照）が、パスあたりのコストを桁で下げました。
• 時間的蓄積: 前フレームの結果を再利用し、フレームをまたいで実効サンプル数を稼ぐ。

まとめ

• 大域照明 とは光の多重反射（間接光・色移り・コースティクス）まで含めて解くことで、パストレーシングはそれを1つの積分方程式として一貫して扱う。
• レンダリング方程式 は「出射光＝自発光＋半球全体からの入射光の反射」という再帰的積分方程式で、閉じた解は一般に存在しない。
• モンテカルロ積分 はパスをランダムに追跡して期待値で近似する不偏推定だが、誤差が 1/√N でしか減らずノイズが出る。
• 重要度サンプリング（BRDF／光源／MIS） で寄与の大きい方向を狙い、ロシアンルーレット で不偏に打ち切ることで、同じ標本数・計算時間あたりのノイズを大幅に削減できる。
• 遅い収束は デノイズ・ハードウェアレイトレーシング・時間的蓄積 で補い、実写級の GI をリアルタイムへ近づけている。