適応フィルタ（LMS・RLS）

係数が固定されないフィルタ

通常のデジタルフィルタは、設計時に決めた係数を動作中ずっと使い続けます。しかし現実の問題には、フィルタが打ち消すべき経路が未知で、しかも時間とともに変わるものが数多くあります。通話中のエコー経路はスピーカからマイクへの音響反射で決まり、人が動けば変化します。伝送路の歪みは温度や配線で変わります。こうした相手には固定係数では追従できません。

適応フィルタは、出力と「望ましい信号」との誤差を使って係数そのものを逐次更新し、未知・時変の環境に自動で合わせ込む仕組みです。中身は多くの場合ただの FIRフィルタ で、違いは係数 w[k] がサンプルごとに動くこと。フィルタの設計を人手ではなく**データからの最適化（学習）**に置き換えた点が本質です。

出力         : y[n] = Σ_{k=0}^{N-1} w_k[n]·x[n-k] = wᵀ x   （長さ N の FIR）
誤差         : e[n] = d[n] − y[n]                          （望みの信号 − 出力）
目的         : 誤差の二乗平均 E{ e[n]² } を最小にする係数ベクトル w を求める

d[n] は望みの信号（desired）、x[n] はフィルタへの入力です。この2つをどう割り当てるかが適応フィルタの構成そのもので、応用ごとに変わります（後述）。

最適解ウィナー解と誤差曲面

まず「目指す先」を押さえます。誤差二乗平均 J(w) = E{e²} を係数 w の関数として展開すると、w に関する**二次形式（下に凸な放物面）**になります。

J(w) = E{d²} − 2 wᵀ p + wᵀ R w

  R = E{ x xᵀ } : 入力の自己相関行列（N×N, 半正定値）
  p = E{ d x }  : 望みの信号と入力の相互相関ベクトル

凸なので勾配 ∇J = 2(R w − p) をゼロに置けば最小点が一意に定まります。これがウィナー解です。

ウィナー・ホップ方程式 :  R w* = p     →     w* = R⁻¹ p

適応アルゴリズムがやることは、R と p を事前に知らなくても、この最適点 w* へ逐次的に近づけることに尽きます。誤差曲面が単一の谷を持つ放物面である——この事実が、勾配を下れば必ず最適解に届くという収束保証の土台になります。

最急降下からLMSへ

w* へ向かうもっとも基本的な反復が最急降下法です。勾配 ∇J の逆向きにステップサイズ μ だけ係数を動かします。

最急降下 :  w[n+1] = w[n] − μ·∇J = w[n] + 2μ (p − R w[n])

しかしこれには R と p、すなわち統計量の期待値が必要で、時変環境では実時間で得られません。そこで LMS（Least Mean Squares） は、期待値を取る前の1サンプルの瞬時値で勾配を近似します。∇J = −2 E{e x} の期待値を外し、e[n]·x[n] そのものを勾配の推定値として使います。

LMS 更新則 :  w[n+1] = w[n] + μ·e[n]·x[n]

  各係数で書くと :  w_k[n+1] = w_k[n] + μ·e[n]·x[n-k]

この一行が LMS のすべてです。誤差 e[n] が大きく、その方向に相関する入力 x[n-k] ほど、対応する係数を大きく動かす——直観的にも妥当な更新になっています。1サンプルあたりの計算量は出力計算とあわせて約 2N 回の乗算、O(N) の線形オーダーで、極めて軽いのが LMS 最大の魅力です。瞬時勾配は真の勾配のまわりで揺れる確率的近似なので、係数は最適点の周囲を細かくジグザグしながら平均的に w* へ収束します。

収束とステップサイズの上限

LMS が発散せず収束するかは、ステップサイズ μ が握ります。係数誤差の平均が0へ収束する条件は、入力自己相関行列 R の固有値 λ を使って次で与えられます。

収束条件 :  0 < μ < 2 / λ_max      （λ_max は R の最大固有値）

固有値の総和 Σλ は R のトレース、すなわち各タップの入力パワーの総和 N·E{x²}（＝入力信号の総パワー）に等しいため、実務では扱いやすい保守的な目安として次を使います。

実用目安 :  0 < μ < 2 / (N · 入力パワー) = 2 / tr(R)

μ が上限を超えると係数が谷を飛び越えて増幅し、発散します。上限内でも μ の大小には明確なトレードオフがあります。

ここで重要なのがミスアジャストメント（misadjustment）という概念です。瞬時勾配の雑音のせいで、LMS は収束後も w* に静止せず周囲で揺れ続け、その分だけ最小誤差 J_min より過剰な定常誤差が残ります。過剰分は近似的に μ·tr(R)/2 に比例し、μ を大きくするほど速いが定常誤差も増える、という速度と精度の綱引きになります。

RLS：最小二乗を厳密に再帰追跡する

LMS が瞬時勾配で「だいたいの方向」へ進むのに対し、RLS（Recursive Least Squares） は、これまで観測した全サンプルに対する重み付き最小二乗解を毎サンプル厳密に再計算します。忘却係数 λ（0.95〜1、1 に近いほど過去を長く記憶）で古いデータを指数的に減衰させ、時変にも対応します。

最小化対象 :  Σ_{i=1}^{n} λ^{n-i} · e[i]²      （λ: 忘却係数, 0 << λ ≤ 1）

毎回 R⁻¹ p を解き直すのは重すぎるため、RLS は行列反転の補題を使って逆相関行列 P = R⁻¹ を漸化式で更新します。中核はカルマンゲインに似た利得ベクトル g の計算です。

利得       : g[n] = P[n-1] x[n] / (λ + xᵀ P[n-1] x[n])
係数更新   : w[n] = w[n-1] + g[n]·e[n]        （e[n] = d[n] − w[n-1]ᵀ x[n]）
P の更新   : P[n] = (1/λ)·( P[n-1] − g[n] xᵀ P[n-1] )

P が入力統計の逆行列を保持しているため、RLS は固有値の散らばりの影響を実質的に取り除き、相関の強い入力でも数タップ〜数十タップ分の短時間で収束します。LMS の弱点をまさに補う構造です。ただし P は N×N 行列で、その更新に1サンプルあたり O(N²) の乗算がかかります。次数が大きいと LMS の O(N) に対して桁で重くなります。

LMS と RLS の対比

両者は「同じウィナー解 w* を目指す」点で共通ですが、そこへの近づき方と代償が対照的です。

要するに、演算資源が限られ収束の速さより堅牢さと軽さを優先するなら LMS（NLMS）、相関の強い入力で速い収束が要り、O(N²) の演算と数値安定化の手間を払えるなら RLS、という選択になります。組込みや MCU では圧倒的に LMS 系が主流です。

応用：エコー消去とノイズ除去

適応フィルタの威力は、d[n] と x[n] の割り当てを変えるだけで多様な問題に化ける汎用性にあります。代表例がシステム同定の形を取るエコー消去です。

音響／回線エコー消去（システム同定型）:

  x[n] : 遠端信号（スピーカへ送る = エコー経路 h への入力）
  d[n] : マイク入力 = 近端音声 s[n] + エコー( h * x )[n]
  適応フィルタ w が未知のエコー経路 h を推定 → y[n] ≈ エコー成分
  e[n] = d[n] − y[n] ≈ 近端音声 s[n]（エコーが差し引かれ、残るのは話者の声）

ここでの妙味は、消したいエコーを推定し、誤差 e[n] が消し残りそのものになる点です。e を最小化する＝エコーを最大限打ち消す、が自動的に一致します。人が動いて経路 h が変わっても、適応フィルタが係数を追従させ続けるため消去性能が保たれます。

適応ノイズキャンセリングは割り当てを変えた双子の構成です。主マイクに「目的音＋雑音」、参照マイクに「雑音源と相関するが目的音を含まない信号」を入れ、適応フィルタが参照から主に混じった雑音成分を推定して差し引きます。誤差出力 e[n] がクリーンな目的音になります。

適応ノイズキャンセリング:

  d[n] : 目的音 s[n] + 雑音 n0[n]（主マイク）
  x[n] : n0 と相関する参照雑音 n1[n]（参照マイク, s を含まない）
  w が n1 → n0 の伝達を推定 → y[n] ≈ n0[n]
  e[n] = d[n] − y[n] ≈ s[n]（雑音だけが消え、目的音が残る）

このほか、送信前に伝送路の逆特性を学習して歪みを打ち消す適応等化（inverse modeling）、過去サンプルから次を予測する適応線形予測など、教科書的には (1) システム同定、(2) 逆モデリング、(3) 雑音除去、(4) 予測、の4構成に整理されます。いずれも「d と x に何を割り当て、e に何を残したいか」で設計が決まります。

まとめ

適応フィルタは、係数を事前に固定せず誤差 e = d − y を手がかりに逐次更新することで、未知で時変な経路に追従するフィルタです。目的は誤差二乗平均を最小化するウィナー解 w* = R⁻¹ p への到達で、誤差曲面が単一の放物面（凸）だからこそ勾配降下で大域最適に届きます。LMS は勾配を1サンプルの瞬時値で近似する w ← w + μ·e·x の一行で、計算量 O(N) と堅牢さが魅力ですが、収束はステップサイズ μ（上限 2/λ_max）と入力相関に縛られ、速度と定常誤差（misadjustment）がトレードオフになります。RLS は最小二乗解を逆相関行列 P の再帰更新で厳密追跡し、相関の強い入力でも速く収束しますが、O(N²) の演算と数値安定化の手間を要します。応用は d と x の割り当て次第でエコー消去・ノイズキャンセリング・等化・予測へと展開でき、いずれも「誤差に何を残すか」で設計が決まります。逐次推定という点では カルマンフィルタ と発想を共有し、固定係数の デジタルフィルタ設計 や畳み込みを扱う 線形時不変システム の理解が土台になります。