突入磁束と変圧器インラッシュ：投入位相と残留磁束

磁束は電圧の積分であって、電流ではない

変圧器のインラッシュ（励磁突入電流）を理解する出発点は、コアの磁束が電圧の時間積分で決まるという一点です。ファラデーの法則 v = N・dΦ/dt を磁束について解くと、磁束は印加電圧を積分した量になります。電流ではなく電圧が磁束を支配する、ここがコンデンサ充電型の突入（/power/inrush-current-limiting/）と本質的に違う点です。

ファラデーの法則を磁束について解く:
  v(t) = N・dΦ/dt
  Φ(t) = (1/N)・∫ v(t) dt + Φ(0)
                              └── 投入時の初期磁束（＝残留磁束）

  正弦波電圧 v = Vm・sin(ωt + θ) を投入時刻 t=0 から積分すると
  Φ(t) = -(Vm/ωN)・cos(ωt + θ) + (Vm/ωN)・cosθ + Φr
          └─ 定常交流磁束 ─┘   └─ 直流オフセット ─┘  └残留─┘

積分定数として現れる第2項・第3項が決定的です。第2項は投入位相 θ で大きさが変わる直流オフセット、第3項は前回遮断時にコアに残った残留磁束 Φr。この2つの「下駄」が定常交流磁束に上乗せされるため、投入直後の磁束ピークは定常値を大きく超え得ます。

最悪条件：電圧ゼロ位相投入で磁束が約2倍

直流オフセット (Vm/ωN)・cosθ が最大になるのは cosθ = 1、すなわち電圧ゼロを横切る瞬間（θ = 0）に投入したときです。逆に電圧ピーク（θ = 90度）で投入すればオフセットはゼロで、磁束はいきなり定常波形に乗るため過渡が起きません。直感に反して「電圧が高い瞬間の投入は安全、電圧ゼロの瞬間が最悪」になります。

投入位相と磁束ピーク（残留磁束ゼロと仮定）:

  θ = 90度（電圧ピーク投入）: オフセット = 0
    → 磁束ピーク = Φm（定常と同じ、過渡なし）

  θ = 0度（電圧ゼロ投入）   : オフセット = Φm
    → 半サイクル後に磁束 = Φm（交流分）+ Φm（オフセット）= 2Φm

電圧ゼロ位相では、投入後の最初の半サイクルで電圧の積分（＝磁束）が片側に振り切れ、定常ピーク Φm の約2倍に達します。コアは定常ピーク Φm が飽和磁束密度 Bsat の少し下に来るよう設計されているため、その2倍は確実に飽和領域へ突入します。BHカーブと飽和の物理は /power/magnetic-core-physics/ の通りです。

ここに残留磁束が同極性で重なると事態はさらに悪化します。鉄心はヒステリシスを持つため、無負荷で遮断すると磁束は完全にはゼロへ戻らず、Bsat の 30〜80% に相当する Φr が残ります。残留磁束が直流オフセットと同方向なら、理論上の最悪ピークは次のように積み上がります。

最悪磁束ピーク = Φm（交流分）+ Φm（オフセット）+ Φr（残留）
              ≒ 2Φm + Φr   →  定常の 2.3〜2.8 倍に達し得る

飽和が招く大電流：励磁インダクタンスの崩壊

磁束が2倍超になること自体は電圧の話で、まだ電流の話ではありません。大電流が流れるのは、飽和すると励磁インダクタンスが激減するからです。

不飽和時、励磁電流を制限しているのは大きな励磁インダクタンス Lm（高い透磁率に由来）です。ところが Bsat を超えるとコアの透磁率が空気同然まで落ち、Lm は実効的に空心インダクタンス＝漏れインダクタンス程度まで崩壊します。磁束を 2Φm + Φr まで押し上げるのに必要な起磁力は、不飽和領域の何十倍もの電流を要求します。

飽和前後の励磁電流（一次基準）:

  不飽和: 励磁電流 ≒ 定常磁化電流（定格の数%）
  飽和  : 電流は漏れインピーダンスだけで制限される
          Ipeak ≒ (Vm/ωN)・(2Φm+Φr−Φsat に対応する起磁力) / 漏れインピーダンス
          → 定格電流の 5〜20 倍に達し得る（コンデンサ突入に匹敵）

  波形の特徴:
    ・片振れ（一方向にだけ大きく振れ反対側はほぼゼロ）
    ・直流分を強く含む
    ・第2高調波成分が顕著（後述の保護で利用）

漏れインピーダンスが短絡電流を制限する関係は /power/transformer-fundamentals/ の%インピーダンスと同じ枠組みです。短絡電流が二次故障で漏れ分により制限されるのと同様、飽和時のインラッシュも漏れインピーダンスが上限を与えます。

突入電流は巻線抵抗による減衰時定数 L/R で減衰しますが、変圧器の X/R は大きいため減衰は遅く、数十サイクル（数百ミリ秒）尾を引きます。この間にヒューズ溶断・ブレーカーのトリップ・電圧降下（系統電圧のフリッカ）が問題化します。保護協調の観点は /power/grounding-protection/ を参照。

対策その1：点弧位相制御（ソフト投入）

最も根本的な対策は、投入位相を残留磁束に合わせて制御する点弧位相制御（コントロールド・スイッチング、ソフト投入）です。各相の遮断器に独立した投入タイミング制御を持たせ、残留磁束が立てるべき定常磁束と一致する瞬間に投入することで、直流オフセットそのものを発生させません。

ソフト投入の手順（単相の考え方）:
  1. 前回遮断時の磁束（残留磁束 Φr）を記録または推定
  2. 定常磁束波形が Φr と一致する電圧位相 θ* を計算
  3. その θ* で投入 → オフセット = 0、過渡なし

  三相では各相の残留磁束が異なるため、相ごとに最適投入位相が違う
  → 各極個別操作の遮断器（independent pole operation）が要る

残留磁束ゼロのケースでは「電圧ピーク投入」が最適ですが、残留磁束がある実機では「残留磁束に磁束波形を連続させる位相」を選ぶ点が肝で、単なる電圧ピーク投入とは異なります。点弧位相制御で磁束ピークを定常値近くまで抑えられれば、飽和そのものを回避でき、突入電流を定格電流並みまで下げられます。大型電力用変圧器・リアクトル・コンデンサバンクの投入で標準的に使われます。

抵抗を直列に挟む方式（投入抵抗付き遮断器、あるいは /power/inrush-current-limiting/ で扱うNTC・プリチャージ的発想）も併用されますが、磁束の偏りを根本から消すのは位相制御です。

対策その2：保護リレーの第2高調波抑制整定

インラッシュは保護リレーを誤動作させる側面も持ちます。変圧器の差動保護（87T）は一次・二次の電流差を監視して内部故障を検出しますが、励磁突入電流は一次にだけ流れ二次には現れないため、差動リレーから見ると「内部故障と区別がつかない大電流」に見えます。健全な投入のたびに保護がトリップしては運用になりません。

ここで使われるのが**第2高調波抑制（second-harmonic restraint / blocking）**です。前述の通りインラッシュ電流は第2高調波を強く含む一方、真の内部短絡電流は基本波が支配的で第2高調波が少ない、という波形の違いを利用します。

第2高調波抑制ロジック（差動リレーの考え方）:
  if (第2高調波電流 / 基本波電流) が 整定比 K2 を超える:
        差動動作をロック（トリップ抑制）   ← インラッシュとみなす
  else:
        差動動作を許可                     ← 真の故障とみなす

  代表的整定: K2 ≒ 15〜20%

整定値 K2 の選び方がこの保護の勘所です。K2 を高くしすぎると、第2高調波の少ない軽微なインラッシュでもロックが外れて誤トリップしやすくなる一方、K2 を低くしすぎると、第2高調波を含む内部故障（巻線間故障やCT飽和時）で本当の故障を取り逃がす危険があります。

まとめ

• 磁束は電圧の時間積分で、投入位相に依存する直流オフセットと残留磁束が下駄として乗る。電圧ゼロ位相投入ではオフセットが最大化し、半サイクル後に磁束が定常ピークの約2倍、残留磁束が同極で重なると 2.3〜2.8倍 に達する。
• 磁束が飽和磁束密度を超えると励磁インダクタンスが空心同然まで崩壊し、漏れインピーダンスだけで制限される定格の 5〜20 倍の励磁突入電流が流れる。波形は片振れで直流分と第2高調波を強く含み、X/R が大きいため数十サイクル尾を引く。
• 根本対策は**点弧位相制御（ソフト投入）**で、残留磁束に磁束波形を連続させる位相で各極を投入し、オフセットを発生させずに飽和を回避する。
• 差動保護（87T）はインラッシュを内部故障と誤認するため、第2高調波抑制で第2高調波比が整定比 K2（15〜20%目安）を超えたら動作をロックする。K2 の高低は誤トリップと故障取り逃がしのトレードオフで、低損失コアでは第2高調波が減るため波形識別やクロスブロッキングの併用が要る。
• 等価回路と%インピーダンスは /power/transformer-fundamentals/、コア飽和の物理は /power/magnetic-core-physics/、波形の高調波分解は /power/harmonics-fourier-analysis/、コンデンサ型の突入対策は /power/inrush-current-limiting/ を参照。