昇圧コンバータ（boost）と昇降圧の動作解析

昇圧は「インダクタに溜めて吐き出す」、降圧とは原理が違う

降圧（buck）は入力電圧を時間で間引くだけでした（/power/buck-converter-analysis/）。一方の昇圧（boost）は インダクタにエネルギーを溜め、それを入力電圧に上乗せして放出する 全く別の動作で、入力より高い電圧を作ります。本稿は boost と buck-boost の各相のエネルギー授受、変換比、そして昇圧型に固有の 右半平面ゼロ（RHP zero） による制御の難しさまでを原理から詰めます。3トポロジーの位置づけは /power/dcdc-topology-map/ を、回路の基礎は /power/circuit-fundamentals/ を前提とします。

boost の回路は、入力 Vin に直列のインダクタ L、そこから接地に向かう ローサイドスイッチ（MOSFET）、出力へ向かう ダイオード（または同期整流 MOSFET）、出力に平滑コンデンサ C と負荷、という構成です。buck と部品は同じでも、スイッチがインダクタの「後ろ」にあるのが決定的な違いです。

D = ton / T,   T = 1 / fsw,   0 < D < 1

  スイッチON (長さ D・T):
    ローサイドSWがインダクタ右端を接地。ダイオードは逆バイアスで出力と切り離れる。
    インダクタには Vin がそのまま掛かり、電流が直線増加 → エネルギーを蓄積。
    出力は C だけで負荷を支える。

  スイッチOFF (長さ (1−D)・T):
    SWが開き、インダクタ電流の行き場はダイオード経由の出力だけ。
    インダクタは「電流を流し続けよう」として右端電圧を Vout まで持ち上げる。
    Vin と インダクタの起電力が直列に重なり、Vout(>Vin) へ電流を放出。

volt-second balance から Vout = Vin/(1−D)

変換比の根拠は buck と同じ インダクタの volt-second balance（定常状態で1周期の電圧時間積が0） です。定常では周期初と周期末でインダクタ電流が等しいので、電圧時間積の総和は0でなければなりません。ON 相と OFF 相のインダクタ両端電圧を立てて積分するだけで比が出ます。

連続導通（CCM）でのインダクタ両端電圧 vL:
  ON 相  (長さ D・T)    : vL = Vin            （右端=接地）
  OFF 相 (長さ (1−D)・T): vL = Vin − Vout     （右端=Vout、理想ダイオード）

volt-second balance:
  Vin・D・T + (Vin − Vout)・(1−D)・T = 0
  Vin・D + Vin・(1−D) − Vout・(1−D) = 0
  Vin − Vout・(1−D) = 0
  ⇒ Vout = Vin / (1 − D)

D が0なら Vout=Vin、D を1へ近づけると Vout は理論上無限大に発散します。つまり boost は 常に Vin 以上 の電圧しか作れません（降圧はできない）。ここで重要なのは、OFF 相でインダクタの電圧が Vin − Vout（負値）になり電流が減少する、その「減る時間」と ON 相で「増える時間」の電圧時間積が釣り合うという一点だけで比が決まることです。L や C の値は変換比に関与しません。

エネルギー保存から見る ── 電流比は電圧比の逆数

変換比を電流の側から見ると理解が深まります。理想（損失ゼロ）なら入力電力と出力電力は等しく、Vin・Iin = Vout・Iout。boost では入力電流 Iin がインダクタ平均電流 IL に等しいので、次が成り立ちます。

理想効率100%: Vin・Iin = Vout・Iout
  Vout/Vin = 1/(1−D) より
  Iin/Iout = Vout/Vin = 1/(1−D)
  ⇒ IL = Iin = Iout / (1 − D)

出力電流 Iout はダイオードがOFF相だけで運ぶので、その平均は IL・(1−D) = Iout と辻褄が合います。注意すべきは インダクタ電流が出力電流より 1/(1−D) 倍も大きい こと。D=0.8（5倍昇圧）ならインダクタとスイッチには出力の5倍の電流が流れ、導通損失とデバイスストレスが跳ね上がります。高昇圧比を1段の boost で稼ぐのが非効率なのはこのためです。

buck-boost ── 入力を切り離して充放電する

buck-boost は boost と部品配置が似ていますが、インダクタを入力からも出力からも切り離して充放電 する点が異なります。ON 相では入力がインダクタを充電し、OFF 相ではインダクタが出力だけに放電します。入力と出力が直接つながる瞬間がないため、出力極性が反転します。

CCM でのインダクタ両端電圧 vL:
  ON 相  (長さ D・T)    : vL = Vin       （入力がインダクタを充電）
  OFF 相 (長さ (1−D)・T): vL = Vout      （Voutは負側、インダクタが出力へ放電）

volt-second balance:
  Vin・D・T + Vout・(1−D)・T = 0
  ⇒ Vout = −Vin・D / (1 − D)

符号が示すとおり出力は 入力と逆極性。絶対値で見ると |Vout| = Vin・D/(1−D) で、D=0.5 を境に振る舞いが切り替わります。

buck-boost は1つのスイッチで昇圧も降圧もこなせる柔軟さが利点ですが、極性反転とインダクタ電流の大きさ（IL = Iin + Iout 相当）がネックで、非反転が必要なら4スイッチbuck-boostやSEPIC、Ćukへ発展します（/power/dcdc-topology-map/）。

右半平面ゼロ ── 昇圧型が「制御しにくい」根本原因

boost と buck-boost に共通する最大の難所が 右半平面ゼロ（RHP zero, Right-Half-Plane zero） です。これは「デューティ比を上げた瞬間、出力電圧が一旦 下がって から上がる」という直感に反する非最小位相挙動を生みます。

理由はエネルギーの経路にあります。出力へ電力を渡すのは OFF 相 だけです。ここで D を増やすと ON 相が長くなり OFF 相が短くなる。インダクタ電流が増えて定常的には出力が上がるのですが、その電流が増えるには時間がかかる 一方、OFF 相が短くなって出力へ送る時間が減るのは即座です。結果、過渡の初期には出力へ届く電荷がむしろ減り、出力が一瞬下がります。

D を Δ だけ増やした直後（boost）:
  即座の効果 : OFF相が (1−D)→(1−D−Δ) に短縮 → 出力へ渡す時間が減る → Vout 一旦低下
  遅れる効果 : インダクタ電流が L の時定数でゆっくり増加 → やがて Vout 上昇

  「先に下がって後で上がる」= 制御入力に対し符号が逆転する初期応答（非最小位相）

制御理論では、この応答は伝達関数の 右半平面（s>0）に零点 を持つことに対応します。RHP zero はゲインを上げながら 位相を遅らせる（左半平面ゼロが位相を進めるのと逆）ため、フィードバックループの位相余裕を食い潰します。安定に保つにはクロスオーバー周波数を RHP zero 周波数より十分低く抑えるしかなく、応答帯域が原理的に制限 されます。

boost の RHP zero 周波数（CCM, おおよその目安）:
  ω_rhz ≈ (1−D)² ・ R / L      （R は負荷抵抗）

  ・D が大きい（高昇圧比）ほど (1−D)² で急低下 → 帯域がさらに狭まる
  ・L が大きいほど低周波へ寄る → 大きいインダクタは応答を遅くする
  ・負荷が軽い（R 大）ほど高周波へ寄る

なお buck には RHP zero がありません。buck は ON 相・OFF 相のどちらでもインダクタが出力へ電流を供給し続けるため、D を上げれば即座に出力が上がる最小位相系だからです。「昇圧型は制御が難しい」という実務の常識は、この出力経路がOFF相に限られるという構造の違いに帰着します。

まとめ

• boost は ON 相でインダクタにエネルギーを溜め、OFF 相でそれを Vin に上乗せして放出するため Vout = Vin/(1−D)。常に Vin 以上の電圧しか作れず、入力電流は連続で PFC に向く。
• インダクタ電流は出力電流の 1/(1−D) 倍に達し、高昇圧比ではデバイスストレスと導通損失が急増する。
• buck-boost は入出力を切り離して充放電するため Vout = −Vin・D/(1−D) と極性反転し、D=0.5 を境に昇圧/降圧が切り替わる。入力電流は断続。
• boost と buck-boost は出力供給が OFF 相に限られるため 右半平面ゼロ を持ち、D 増加の初期に出力が一旦下がる。位相を遅らせ帯域を制限するこの零点は補償器で消せず、クロスオーバーを下げて回避するしかない。buck にはこの零点がない。
• 降圧側の数理は /power/buck-converter-analysis/、トポロジー全体像は /power/dcdc-topology-map/、補償設計は /power/pwm-feedback-control/ を参照。