右半面ゼロ（RHPZ）：昇圧系が応答を遅くせざるを得ない理由

デューティを上げたのに出力が「先に下がる」

昇圧（boost）やフライバックを実機で回すと、降圧（buck）では起きない奇妙な制約にぶつかります。フィードバックの帯域を欲張って上げると、なぜか位相余裕が足りず発振寸前になる。原因は 右半面ゼロ（RHPZ, Right-Half-Plane Zero） ——デューティ比を上げた 瞬間 に出力電圧がいったん下がってから上がる、非最小位相という挙動です。本稿はこの「先に下がる」が起きる物理的起源を、エネルギー授受のレベルから詰め、なぜ補償器で消せず交差周波数を下げるしかないのかまでを説明します。トポロジーの基礎は /power/boost-converter-analysis/、補償設計の全体像は /power/loop-compensation-bode/ を前提とします。

物理的起源 ── 出力供給がOFF相に限られる構造

RHPZの根は、昇圧系では 出力へ電力を渡せるのがOFF相だけ という構造にあります。ON相ではローサイドスイッチがインダクタ右端を接地し、出力ダイオードは逆バイアスで切り離れ、負荷は出力コンデンサだけで支えられます。インダクタへエネルギーを溜めるのがON相、それを出力へ吐き出すのがOFF相、という役割分担です。

ここでデューティ D を Δ だけ増やした直後に何が起きるかを、二つの時間スケールで分けて考えます。

boost（CCM）で D を Δ だけ増やした直後:

  即座（次の1サイクル内で効く）:
    OFF相のデューティが (1−D) → (1−D−Δ) に短縮
    → ダイオードが出力へ電流を流す時間が即座に減る
    → 出力へ届く平均電荷が減る → Vout が一旦低下

  遅れて効く（L の時定数 ~ L/R で効く）:
    ON相が伸びてインダクタに掛かる平均電圧が増える
    → インダクタ電流 iL がゆっくり増加
    → やがて OFF相で運ぶ電流が増え Vout 上昇

ポイントは二つの効果の 符号が逆で、速さが違う ことです。出力時間が削られる効果は次のサイクルで現れますが、インダクタ電流が増える効果はインダクタの時定数（おおよそ L/R）の分だけ遅れます。だから過渡の初期には「速い負の効果」が「遅い正の効果」を上回り、出力が制御入力と逆向きに動きます。これが非最小位相の正体です。インダクタは電流を瞬時に変えられない——v = L・di/dt という一本の物理が、増デューティの恩恵を遅らせ、削られた出力時間だけを先に露出させます。

RHPZが位相を遅らせる ── 左半面ゼロとの決定的な違い

平均化モデル（/power/state-space-averaging/）で制御-出力伝達関数 Gvd(s) = vout / d を導くと、分子にゼロが現れます。零点の係数の符号が、それが左半面にあるか右半面にあるかを決めます。

boost（CCM）の制御-出力伝達関数の概形:

  Gvd(s) ∝ (1 − s/ω_rhz) / (分母の2次系)

  通常のゼロ   (1 + s/ωz) : s = −ωz が根 → 左半面ゼロ（LHPZ）
  右半面ゼロ   (1 − s/ω_rhz) : s = +ω_rhz が根 → 右半面ゼロ（RHPZ）

(1 − s/ω_rhz) を s = jω で評価すると、振幅は √(1 + (ω/ω_rhz)²) で ω とともに増える——つまり1次のゼロらしく毎オクターブ +6 dB でゲインを持ち上げます。ところが位相は −arctan(ω/ω_rhz) と 負の方向 に回ります。普通のLHPZがゲインを上げつつ位相を進める（+90度へ）のに対し、RHPZはゲインを上げつつ位相を遅らせる（−90度へ）。

RHPZ の周波数応答:
  ゲイン: +6 dB/oct で増加（LHPZ と同じ）
  位相  : −90度 へ向かって遅れる（LHPZ は +90度 へ進む）

  → 帯域内に RHPZ があると、ゲインは下がらないのに位相だけ
    どんどん削られ、位相余裕を失う最悪のパターンになる

これがフィードバックにとって厄介な理由です。極（pole）ならゲインも位相も同時に下げてくれるので、ゲインが落ちる頃には位相も問題になりにくい。だがRHPZは ゲインを下げてくれないまま位相だけ奪う ので、ゲインがまだ十分高い周波数で位相が180度に達し、ループが正帰還化して発振します。

なぜ補償器で消せないのか

LHPZや余分な極なら、補償器（誤差増幅器）に相殺する極・零点を置いてキャンセルできます。ではRHPZも、補償器の分母に (1 − s/ω_rhz) を置けば消せるのでは——と考えたくなりますが、これは 右半面に極を作る ことを意味し、その瞬間に補償器自身が単独で不安定（出力が発散）になります。系全体としても、右半面の極零点の対消滅は数学的には約分できても物理的には実現不能で、わずかな係数ずれで不安定が露出します。RHPZは原理的に「打ち消す補償が存在しない」のです。

RHPZ への唯一の現実解:
  クロスオーバー周波数 fc を RHPZ より十分低く取り、
  RHPZ が効き始める前にループゲインを 0 dB 未満へ落とす

  目安: fc ≲ ω_rhz / (2π) × 1/3 〜 1/5
        （RHPZ周波数の概ね 20〜33% 以下）

つまり「帯域を犠牲にして安定を買う」しかありません。RHPZが現れる周波数より十分下でループゲインを1未満に落とし切り、RHPZの位相遅れがループに作用する前に逃げ切る、というのが定石です。

RHPZ周波数を決める式 ── どこまで帯域を下げる必要があるか

交差周波数の上限を握るRHPZ周波数は、動作点に強く依存します。boostのCCMでの近似は次の通りです。

boost の RHPZ 周波数（CCM, 近似）:
  ω_rhz ≈ (1−D)² ・ R / L      [rad/s]   （R は負荷等価抵抗, L はインダクタ）

  f_rhz = ω_rhz / (2π)

  読み取り:
  ・D が大きい（高昇圧比）ほど (1−D)² で急低下 → 帯域が一気に狭まる
  ・L が大きいほど低周波へ寄る → 大インダクタは応答を遅くする
  ・負荷が軽い（R 大）ほど高周波へ寄る → 重負荷ほど RHPZ が低く厳しい

最悪条件は 高昇圧比かつ重負荷 です。たとえば D が 0.5 から 0.8 に上がると (1−D)² は 0.25 から 0.04 へと約6分の1になり、RHPZ周波数もそれだけ低周波へ移動して、交差周波数を一段と下げざるを得なくなります。設計では入力電圧範囲・負荷範囲の全域で最も低くなるRHPZ周波数を求め、その概ね 1/3〜1/5 を上限として補償を組みます。R = Vout²/Pout なので、出力電力が大きいほど R が小さく、RHPZ周波数も低く、帯域制約も厳しくなる点に注意します。

DCMやbuckはなぜ違うのか

RHPZはCCM固有の現象です。不連続導通（DCM） ではOFF相の途中でインダクタ電流が0まで落ち切るため、各サイクルが前サイクルの電流から切り離されます。「電流が増えるのに時間がかかる」という遅れの源が消えるので、DCMのboost・フライバックはRHPZを持たず（高周波へ追いやられ実質的に問題化しない）、制御が楽になります。軽負荷でDCMに落ちると逆に挙動が変わる点は補償設計の注意所です。

一方 buck はCCMでもRHPZを持ちません。buckはON相・OFF相のどちらでもインダクタが出力へ電流を供給し続けるため、デューティを上げれば即座に出力が増える最小位相系だからです。「昇圧系は制御が難しく、降圧系は素直」という実務の常識は、この 出力経路がOFF相に限られるか否か という一点に帰着します。

まとめ

• 昇圧・フライバックのCCMでは出力供給がOFF相に限られる。デューティ増の直後、出力時間が削られる効果は即座に、インダクタ電流が増える効果は L/R の時定数で遅れて現れるため、出力がいったん下がる非最小位相挙動＝RHPZが生じる。
• RHPZは伝達関数の (1 − s/ω_rhz) に対応し、ゲインを毎オクターブ +6 dB で持ち上げながら位相を −90度へ遅らせる。ゲインを下げずに位相だけ奪うため位相余裕を食い潰す。
• RHPZは打ち消す補償が原理的に作れない（右半面に極を置くと不安定化）。唯一の手はクロスオーバーをRHPZ周波数の概ね 1/3〜1/5 以下へ下げ、帯域を犠牲にして安定を買うこと。
• ω_rhz ≈ (1−D)²・R/L なので、高昇圧比・重負荷・大インダクタで低周波へ寄り、帯域制約が厳しくなる。電流モード制御でも構造に起因するRHPZは残る。DCMやbuckはこの遅れの源がないためRHPZを持たない。
• 基礎は /power/boost-converter-analysis/ と /power/flyback-converter-analysis/、平均化モデルは /power/state-space-averaging/、補償設計は /power/loop-compensation-bode/ と /power/pwm-feedback-control/ を参照。