電力変換器のモデリング：状態空間平均化と小信号モデル

スイッチング電源は「線形時不変」ではない、のに線形で設計する

/power/pwm-feedback-control/ で見たように、SMPSの補償器はボード線図の上で極・零点を配置して設計します。しかしボード線図も伝達関数も 線形時不変（LTI）系 の道具です。一方、実際のコンバータはスイッチが毎周期オンオフを繰り返す 時変・非線形系 で、本来そのままでは伝達関数を持ちません。この溝を埋めるのが 状態空間平均化（state-space averaging） です。1スイッチング周期でON相とOFF相の状態方程式を均し、連続な非線形モデルに変換したうえで、動作点まわりで線形化して扱える小信号伝達関数を取り出します。本稿はこの「均す→分ける→線形化する」という一連の流れと、その帰結として昇圧・フライバックに必ず現れる右半平面ゼロまでを原理から詰めます。

出発点 ── 2つの相の状態方程式

状態変数 x はインダクタ電流とコンデンサ電圧をまとめたベクトル（降圧なら x = [iL, vC]）、入力 u は入力電圧、出力 y は監視量（出力電圧）とします。1周期はスイッチがオンの区間（長さ d·Ts）とオフの区間（長さ (1−d)·Ts）に分かれ、各区間はそれぞれ別のLTI回路です。

ON 相  (デューティ d の区間): dx/dt = A1·x + B1·u,   y = C1·x
OFF 相 ((1−d) の区間)      : dx/dt = A2·x + B2·u,   y = C2·x

A1, A2 は各相の回路トポロジーで決まる行列で、スイッチの状態が変わると接続が変わるため A1 ≠ A2 となるのが普通です。これが「同じ回路なのに係数行列が周期内で切り替わる」時変性の正体です。スイッチング周波数が状態の変化（LC共振やループ帯域）よりずっと速いという 大きな時間スケール分離 が、次の平均化を正当化します。

状態空間平均化 ── 1周期で均す

リプルが状態量に比べ小さいと仮定すると、1周期の状態の振る舞いは、各相の係数行列を その相の存在比率（d と 1−d）で重み付けした平均行列 で記述できます。

平均化された状態方程式（リプル無視の近似）

  A = A1·d + A2·(1−d)
  B = B1·d + B2·(1−d)
  C = C1·d + C2·(1−d)

  dx/dt = A·x + B·u
      y = C·x

これで周期内の切り替わりが消え、d を連続変数とする1つの連続系になりました。ただし注意すべきは、平均行列が d と x の両方を含むため、この平均化モデルは依然として非線形 だという点です。A·x の項に (A1−A2)·d·x のような 制御入力 d と状態 x の積 が現れるからです。線形系へ持ち込むには、もう一段の処理が要ります。

摂動分離 ── 動作点と小信号に分ける

非線形の平均化モデルを線形化する鍵が 摂動分離（perturbation and linearization） です。各量を「定常の動作点（大文字・直流）」と「その周りの微小な揺らぎ（ハット付き・小信号）」の和として書きます。

摂動分離

  x = X + x̂        （状態  = 直流動作点 + 小信号）
  d = D + d̂        （デューティ = 直流 + 小信号）
  u = U + û        （入力電圧 = 直流 + 小信号）
  y = Y + ŷ        （出力 = 直流 + 小信号）

  前提: |x̂| が |X| 未満、|d̂| が |D| 未満（小信号は動作点に比べ十分小さい）

これを平均化モデルに代入すると、項は次数で3種に分かれます。

代入後の項の分類

  直流項 (DC)   : 0 = A·X + B·U,  Y = C·X   → 動作点（直流動作解）を決める
  1次項 (小信号): dx̂/dt = A·x̂ + B·û + {(A1−A2)·X + (B1−B2)·U}·d̂
  2次項 (積)    : (A1−A2)·x̂·d̂ など → 小信号の積。微小×微小なので無視

直流項は揺らぎゼロの定常状態そのもので、これを解くと動作点（直流の変換比や各部の直流値）が決まります。残った1次項が線形の小信号方程式で、2次の積項 x̂·d̂ は「微小量どうしの積」だから動作点の近傍で無視できます。この積項の切り捨てが線形化の実体 です。重要なのは、平均化モデルにあった非線形の積 d·x が、摂動分離によって「直流の D·X（動作点へ）」と「線形の D·x̂ + X·d̂（小信号へ）」にきれいに分配される点です。

制御-出力伝達関数 Gvd を取り出す

小信号方程式をラプラス変換すれば、入力 û（ライン）と d̂（制御）から出力 ŷ への伝達関数が得られます。補償設計で主役になるのは û を固定して d̂ から出力電圧 ŷ を見る制御-出力伝達関数 です。

制御-出力伝達関数（û = 0 とおく）

  Gvd(s) = ŷ(s) / d̂(s) = C·(sI − A)^(-1)·{(A1−A2)·X + (B1−B2)·U}

  分母 det(sI − A) の根 = 平均化系の極（降圧ならLC由来の二重極など）
  分子                = 零点（ESR零点、そして昇圧型では右半平面ゼロ）

(sI − A) の逆行列の分母 det(sI − A) がパワー段の 極 を、分子側が 零点 を与えます。降圧なら分母にLCの二次極（/power/voltage-vs-current-mode-control/ で扱った二重極）が、分子にコンデンサESRの左半平面零点が出ます。ここまでで、スイッチング非線形系がボード線図に載る1つの線形伝達関数 Gvd に縮約されました。なお同じ枠組みで û から出力への ライン-出力伝達関数（電源除去比 PSRR の素） や入力アドミタンスも一括で得られます。

右半平面ゼロの起源 ── 昇圧・フライバックCCM

降圧では分子の零点はESRによる左半平面零点だけで素直ですが、昇圧（boost）・昇降圧・CCMフライバック では分子に s>0 の零点、すなわち 右半平面ゼロ（RHP zero, Right-Half-Plane zero） が現れます。平均化モデルから見たその起源は明確です。これらのトポロジーでは 出力へ電力を渡すのがOFF相に限られ、その実効的な出力電流が (1−d)·iL の形になることにあります。

昇圧型で RHP zero が出る仕組み（平均化モデルの視点）

  出力へ渡る平均電流 ∝ (1−d)·iL

  デューティ d を上げると…
   ① 即時効果: (1−d) が下がる → 出力へ渡る電流が「その瞬間は減る」
   ② 遅れて効く: ON相が伸びて iL が増える → やがて出力電流が増える

  ①が先、②が後。初期に出力が一旦下がってから上がる非最小位相挙動
   → 伝達関数の分子に s>0 の零点（右半平面ゼロ）として現れる

つまり「d を上げた直後に (1−d) が減って出力が一旦下がり、インダクタ電流が育ってから出力が上がる」という時間順序が、分子の右半平面ゼロの正体です。boostのCCMでの右半平面ゼロ周波数は、おおよそ ω_rhz ≈ R·(1−D)^2 / L（R は負荷抵抗）で、高昇圧比（D大）や大きなインダクタンスほど低周波側に下がります。波形からの読み解きは /power/boost-converter-analysis/ と /power/flyback-converter-analysis/ で詳述しています。

平均化モデルの守備範囲と限界

状態空間平均化はあくまで 動作点まわりの小信号・低周波 モデルです。大信号の過渡（起動突入や負荷ステップで動作点を大きく外れる挙動）、スイッチング周波数近傍のサンプリング効果、リプルが無視できないDCMの細部などは、この基本形では捉えきれません。DCMには補正項を入れた平均化、サンプリング極にはサンプルド・データモデル、というように守備範囲に応じて道具を足すのが正攻法です。それでも、補償器の極・零点配置という日々の設計の9割は、この平均化が生む Gvd の上で行われます。得られたボード線図から実際に補償を組む手順は /power/loop-compensation-bode/ を参照してください。

まとめ

• 状態空間平均化 は、ON相・OFF相の状態方程式を d と (1−d) で重み付け平均し、スイッチの不連続を連続な非線形モデルへ均す手法。前提は小リプル近似とスイッチング周波数との時間スケール分離。
• 摂動分離 で各量を「直流動作点＋小信号」に分け、2次の積項を捨てて線形化する。直流項が動作点を、1次項が小信号方程式を与え、ここで初めてデューティ摂動 d̂ が制御入力として現れる。
• 小信号方程式から 制御-出力伝達関数 Gvd を取り出すと、分母が極（LC二次極など）、分子が零点（ESR零点ほか）を与え、これがボード線図に基づく補償設計の土台になる。
• 昇圧・昇降圧・CCMフライバックは出力供給がOFF相に限られ、実効出力電流が (1−d)·iL になるため、分子に 右半平面ゼロ が現れる。位相を遅らせるこの零点は補償器で消せず、交差周波数を ω_rhz より十分下へ抑えることで帯域を原理的に制限する。
• モデルの前提は /power/pwm-feedback-control/、制御方式による補償の差は /power/voltage-vs-current-mode-control/、昇圧の右半平面ゼロの波形理解は /power/boost-converter-analysis/ を参照。