降圧コンバータ（buck）の数理：デューティ比・インダクタ電流・CCM/DCM

buck は「電圧を時間で間引く」回路、その数理を詰める

降圧（buck）コンバータが Vout = D × Vin で電圧を作ることは /power/smps-principles/ で原理として触れました。本稿はその一行を なぜそうなるか から導き、インダクタ電流のリプル、連続/不連続導通モード（CCM/DCM）、出力リプル電圧までを定常状態の式で詰めます。電圧・電流・電力の基礎は /power/circuit-fundamentals/ を前提とします。

回路は単純です。入力 Vin から ハイサイドスイッチ（MOSFET）、その後にインダクタ L、出力に平滑コンデンサ C と負荷。スイッチがオフの間に電流を還流させる ローサイド側のダイオードまたは同期整流 MOSFET が対になります。スイッチング周期 T のうち、オン時間 ton の割合がデューティ比 D です。

D = ton / T,   T = 1 / fsw,   0 < D < 1

  ノードSW（インダクタの入力端）の電圧:
    スイッチON  : Vsw = Vin       （入力に接続）
    スイッチOFF : Vsw = 0         （還流路でグラウンドに接続。理想ダイオード）

  → SWノードは 0 と Vin を行き来する矩形波。その時間平均が D × Vin。

volt-second balance が出力電圧を決める

Vout = D × Vin の根拠は インダクタの電圧時間積（volt-second）が1周期で釣り合う ことです。インダクタの基本式は vL = L・diL/dt。これを1周期で積分すると、左辺はインダクタ電流の正味変化になります。定常状態では「周期の最初と最後で電流が等しい」（そうでなければ電流が毎周期ずれ続け定常でない）ので、正味変化は0でなければなりません。

インダクタ電圧の1周期積分 = L × (周期末の電流 − 周期初の電流) = 0
  ⇒ ∫ vL dt = 0   （1周期での電圧時間積はゼロ：volt-second balance）

CCM（電流が途切れない）でのインダクタ両端電圧:
  ON 期間 (長さ D・T)   : vL = Vin − Vout   （SW端=Vin, 出力端=Vout）
  OFF 期間 (長さ (1−D)・T): vL = 0   − Vout = −Vout

volt-second balance:
  (Vin − Vout)・D・T  +  (−Vout)・(1−D)・T = 0
  Vin・D − Vout・D − Vout + Vout・D = 0
  Vin・D − Vout = 0
  ⇒ Vout = D × Vin

ここが核心です。出力電圧は L や C や負荷の値に一切依存せず、入力電圧とデューティ比だけで決まります。volt-second balance はインダクタ電流が増える時間と減る時間の「電圧 × 時間」が等しいという要請にすぎず、部品定数は関係しないからです。フィードバック制御が D を動かすだけで出力を一定に保てるのも、この単純な比例関係のおかげです。

インダクタ電流のリプル ── 三角波の振幅を求める

出力電圧は部品定数に依りませんが、インダクタ電流の波形 は L に強く依存します。CCM ではインダクタ電流は平均値 IL のまわりを三角波状に増減します。ON 期間は diL/dt = (Vin − Vout)/L で直線的に増加し、OFF 期間は diL/dt = −Vout/L で減少します。ピークからボトムまでの振幅が リプル電流 ΔIL です。

ON 期間の電流増加分（= ピーク−ボトム）:
  ΔIL = (diL/dt)・ton = (Vin − Vout)/L × D・T

Vout = D・Vin を代入して整理（fsw = 1/T）:
  ΔIL = (Vin − Vout)・D / (L・fsw)
      = Vin・D・(1 − D) / (L・fsw)

  ・ΔIL は D=0.5 で最大（D(1−D) が最大）
  ・L または fsw を上げると ΔIL は反比例で減る

インダクタの平均電流 IL は、定常状態では 出力電流 Iout に等しい（コンデンサの平均電流が0なので、インダクタ電流の直流分はすべて負荷へ流れる）。つまりインダクタには「直流分 Iout に三角波リプル ΔIL が重畳した」電流が流れます。設計では ΔIL を Iout の 20〜40% 程度に収めるのが定番で、ここから必要なインダクタンスを逆算します。

CCM と DCM ── 電流が途切れる境界

ここまでは電流が1周期を通じて途切れない 連続導通モード（CCM, Continuous Conduction Mode） を前提にしました。しかし負荷が軽くなって平均電流 IL が下がると、三角波のボトム（IL − ΔIL/2）がやがて0に達します。これを下回ると電流は負には流れず（ダイオード整流の場合）、OFF 期間の途中で電流が0に張り付く 不連続導通モード（DCM, Discontinuous Conduction Mode） に入ります。

CCM/DCM の境界条件（ボトム電流がちょうど0）:
  IL = ΔIL / 2     ⇔     Iout = ΔIL / 2

境界の負荷電流（critical current）:
  Iout,crit = ΔIL / 2 = Vin・D・(1 − D) / (2・L・fsw)

  Iout が Iout,crit 未満 → DCM
  Iout が Iout,crit 以上 → CCM

DCM に入ると性質が一変します。CCM では Vout = D・Vin が負荷に依らず成立しましたが、DCM では電流が0の区間ができるぶん volt-second の構図が変わり、出力電圧が負荷電流にも依存 するようになります。

同期整流（ローサイドも MOSFET）の場合、ボトム電流が0を割っても MOSFET は逆方向に電流を通せるため、軽負荷でも電流が負に振れる 強制 CCM を維持できます。ただし軽負荷で逆電流を流すのは循環損失になるため、効率優先の設計ではあえて DCM（ダイオードエミュレーション）に切り替えるのが普通です。

出力リプル電圧 ── コンデンサがリプル電流を積分する

最後に出力電圧のリプル ΔVout です。インダクタ電流の三角波リプル ΔIL のうち、直流分 Iout は負荷へ抜け、交流分（三角波の交流成分）が出力コンデンサ C を充放電 します。理想コンデンサ（ESR=0）では、半周期分のリプル電流が運ぶ電荷 ΔQ を C で割ったものが ΔVout になります。

三角波リプル電流が半周期で運ぶ電荷 ΔQ:
  ΔQ = (1/2)・(T/2)・(ΔIL/2) = ΔIL・T / 8

出力リプル電圧（理想コンデンサ, ESR=0）:
  ΔVout = ΔQ / C = ΔIL / (8・C・fsw)

  ΔIL = Vin・D・(1−D)/(L・fsw) を代入:
  ΔVout = Vin・D・(1−D) / (8・L・C・fsw²)

  → ΔVout は fsw² と L・C の積に反比例。高周波化が最も効く。

理論上は ΔVout は L・C・fsw² で自由に小さくできますが、実際の電解コンデンサやタンタルでは ESR（等価直列抵抗）による項 が支配的になることが多いです。ESR があると、リプル電流が ESR を流れるだけで ΔVout,ESR ≈ ΔIL × ESR の電圧降下が出ます。この項は C を増やしても減らず、ESR を下げる（低 ESR の MLCC を使う、並列化する）しか手がありません。だから高性能な出力には容量よりも ESR を重視してコンデンサを選びます。

まとめ

• 定常状態では インダクタの volt-second balance（1周期の電圧時間積=0） が成り立ち、ここから部品定数に依らず Vout = D × Vin が一意に導かれる。対になるのがコンデンサの電荷バランス。
• インダクタ電流は平均 Iout（=直流分）に三角波リプルが重畳した波形で、ΔIL = Vin・D・(1−D)/(L・fsw)。D=0.5 で最大、L・fsw に反比例。
• 平均電流が ΔIL/2 を下回ると DCM に入り、Iout,crit = Vin・D・(1−D)/(2・L・fsw) が境界。DCM では Vout が負荷依存になり制御も難化する。同期整流は強制 CCM を維持できる。
• 出力リプルは理想で ΔVout = ΔIL/(8・C・fsw)、実機では ΔIL × ESR の ESR 項が支配的。容量より ESR を重視する。
• 原理の前提は /power/smps-principles/、他トポロジーへの拡張は /power/dcdc-topology-map/、回路の基礎は /power/circuit-fundamentals/ を参照。