RLC過渡応答：時定数・ステップ応答・微分方程式の解

なぜ過渡を微分方程式で解くのか

交流定常状態をフェーザで解く手法（/power/ac-impedance-phasor/）は「単一周波数の正弦波が永遠に続く」前提でした。しかし電源投入・スイッチング・負荷急変の瞬間は定常状態ではなく、過渡（transient） と呼ばれる時間的な移り変わりが起きます。突入電流、コンデンサの充電遅れ、MOSFET オフ時のサージ電圧——これらはすべて過渡現象です。過渡は「どの周波数か」では捉えられず、L と C がエネルギーを蓄え・放出する時間的な振る舞いを 時間領域の微分方程式 で解く必要があります。直流の基礎は /power/circuit-fundamentals/ を前提とします。

鍵は、L と C が 状態（エネルギー）を持つ 素子だという点です。コンデンサの電圧とインダクタの電流は瞬時には変化できません（連続性）。この「変われなさ」が遅れと振動を生みます。

RC・RL回路 ── 1階系と時定数

抵抗1個と蓄積素子1個の回路は、1階の線形微分方程式になります。RC直列回路にステップ電圧 E を加えると、キルヒホッフ電圧則とコンデンサの式 i = C·dvc/dt から次が立ちます。

RC充電:  E = R·i + vc,   i = C·dvc/dt
  ⇒  RC·(dvc/dt) + vc = E

解:  vc(t) = E·(1 − e^(−t/τ))     τ = R·C
     i(t)  = (E/R)·e^(−t/τ)

RL回路（電流の立ち上がり）:
  L·(di/dt) + R·i = E
  ⇒  i(t) = (E/R)·(1 − e^(−t/τ))   τ = L/R

応答は 時定数 τ だけで形が決まる指数関数です。τ は「定常値の約63.2%（= 1 − 1/e）に達するまでの時間」で、物理的には抵抗による損失と蓄積素子のエネルギー容量の比です。t = 5τ で約99.3%に達し、実務上はここを「整定した」とみなします。

直列RLC ── 2階系の微分方程式

L と C を両方含むと、エネルギーが両者の間を往復できるため、応答は単調でなく 振動しうる 2階系になります。直列RLCにステップ E を加え、コンデンサ電圧 vc を変数に取ると次の方程式が立ちます。

E = L·(di/dt) + R·i + vc,   i = C·(dvc/dt)

⇒  LC·(d²vc/dt²) + RC·(dvc/dt) + vc = E

標準形に直すと:
  d²vc/dt² + 2ζω0·(dvc/dt) + ω0²·vc = ω0²·E

  ω0 = 1/√(LC)              固有角周波数（無減衰）
  ζ  = (R/2)·√(C/L)         減衰比（ダンピング比）
  α  = ζ·ω0 = R/(2L)        減衰係数（ネーパ周波数）

特性方程式 s² + 2ζω0·s + ω0² = 0 の根（固有値）が応答の性格を決めます。根は s = −α ± √(α² − ω0²) で、平方根の中身の符号、すなわち ζ が1より大きいか小さいか で3つの場合に分かれます。

ζ が1未満（R が小さい）だと根が複素数になり、解に e^(−αt)·cos(ωd·t) という 減衰しながら振動する 項が現れます。このときの振動角周波数は固有周波数より少し低く、ωd = ω0·√(1 − ζ²) で与えられます。これが回路に現れる リンギング の周波数です。

ラプラス変換 ── 微分方程式を代数に落とす

フェーザが正弦波定常で微分を jω に変えたように、過渡解析では ラプラス変換 が微分を s の掛け算に変え、微分方程式を代数方程式にします。d/dt → s、初期値も自動的に取り込めるのが強みです。

各素子の s領域インピーダンス:
  R → R,   L → sL,   C → 1/(sC)

直列RLCの伝達関数（入力E、出力 vc）:
  H(s) = Vc(s)/E(s) = ω0² / (s² + 2ζω0·s + ω0²)

ステップ応答は H(s)·(E/s) を部分分数分解し、
逆変換で時間波形に戻す。分母の根が
上表の3パターンを決める。

伝達関数の分母 s² + 2ζω0·s + ω0² は微分方程式の特性多項式そのもので、その根（極）が時間応答の指数項を決めます。極が左半平面（実部が負）にあれば応答は減衰して安定、虚軸に近いほど振動が長引きます。この極配置の見方は制御・電源の安定性解析に直結します。

オーバーシュートとリンギング ── 減衰振動の定量

ζ が1未満のステップ応答では、出力が最終値 E を一度行き過ぎてから戻ります。この行き過ぎが オーバーシュート です。最大オーバーシュート率は減衰比だけで決まります。

最大オーバーシュート率:
  Mp = exp( −π·ζ / √(1 − ζ²) )  × 100 [%]

  ζ = 0.1 → 約73%   ζ = 0.3 → 約37%
  ζ = 0.5 → 約16%   ζ = 0.7 → 約4.6%

整定時間（±2%帯）の目安:  ts ≈ 4 / (ζ·ω0) = 4/α
リンギング周波数:        fd = ωd/(2π) = ω0·√(1−ζ²)/(2π)

ζ が小さいほどオーバーシュートが大きく振動が長く続きます。制御系では ζ ≈ 0.7 付近が「速さと行き過ぎの妥協点」としてよく使われます。電源回路では、このオーバーシュートが 素子の耐圧を超える過電圧 として現れるため、ζ を上げて（＝損失を入れて）抑えることが設計課題になります。

突入電流とスナバ ── 過渡を制御する

過渡応答の理解は、そのまま2つの実務設計に直結します。突入電流（インラッシュ） は、電源投入時に空のコンデンサが瞬間的にショートに近く見え、i(0+) = E/R の大電流が流れる現象です。R が小さい（低 ζ・低損失）ほど突入が激しく、ヒューズ溶断や接点溶着を招きます。対策は起動時だけ抵抗を挿入する ソフトスタート（NTC サーミスタや突入電流制限回路）で、実質的に τ を伸ばして電流ピークを抑えます。

スナバ回路 は逆に、スイッチサージのリンギングを抑えるために意図的に R を加え、ζ を上げて減衰を強める手法です。RC スナバや RCD スナバは、寄生 L・C が作る低 ζ の共振に抵抗を並列・直列に入れ、振動エネルギーを熱に変えてオーバーシュートをクリップします。

まとめ

• RC・RLは1階系で、応答は 時定数 τ（RC または L/R） の指数関数。5τ でほぼ整定し、解は「定常解＋過渡解（e^(−t/τ)）」に分解できる。
• 直列RLCは2階系で、ω0 = 1/√(LC) と ζ = (R/2)·√(C/L) が応答を支配し、ζ で過減衰・臨界減衰・減衰振動の3パターンに分かれる。
• ζ が1未満だと複素根となり ωd = ω0·√(1−ζ²) で リンギング、オーバーシュート率 Mp = exp(−πζ/√(1−ζ²)) で行き過ぎが決まる。
• ラプラス変換で微分方程式は伝達関数 ω0²/(s² + 2ζω0·s + ω0²) に化け、分母の根（極）が時間応答を決める。
• 突入電流は τ を伸ばすソフトスタートで、スイッチサージは ζ を上げる スナバ で抑える。応用は /power/smps-principles/、素子側は /power/power-semiconductor-map/ を参照。