キャリア輸送の物理（移動度・ドリフト・拡散）

デバイス電流は「ドリフト」と「拡散」の2つに帰着する

トランジスタやダイオードを流れる電流は、最終的にすべてキャリア（電子・正孔）が空間を移動した結果です。その移動の駆動力は2種類しかありません。電界に引きずられるドリフトと、濃度の濃いところから薄いところへ広がる拡散です。MOSFET の飽和電流式や pn 接合のダイオード方程式が一見複雑に見えても、その内部は必ずこの2つの輸送機構に分解できます。前提となる電子・正孔の描像は /semiconductor/band-theory-carriers/ を踏まえます。

ドリフト電流 ── 電界がキャリアを引きずる

電界 E をかけると、キャリアは電界の向き（正孔）または逆向き（電子）に力を受けます。ただし結晶中のキャリアは加速し続けるわけではなく、原子振動や不純物にぶつかって運動量を失い、平均すると一定のドリフト速度 vd で流れます。この vd が E に比例するときの比例係数が移動度（mobility）μ です。

ドリフト速度と移動度:

  vd = μ・E          μ : 移動度 [cm²/(V·s)]

電子と正孔の両方を考えたドリフト電流密度:

  J_drift = q・(n・μn + p・μp)・E

    q  : 素電荷
    n  : 電子濃度,  p : 正孔濃度
    μn : 電子移動度, μp : 正孔移動度

電子だけに注目すれば、よく書かれる J = q・n・μn・E になります。この式は導電率 σ = q(nμn + pμp) を介してオームの法則 J = σE そのものであり、移動度は材料がどれだけ「電流を流しやすいか」を一語で表す指標です。Si では一般に電子移動度のほうが正孔移動度より大きく（室温で概ね電子1400、正孔470 cm²/(V·s) 程度）、これが nMOS が pMOS より速い物理的な理由になっています。

移動度の正体 ── 平均自由時間と有効質量

移動度はなぜその値になるのか。古典的なドルーデ描像では、キャリアは電界で加速され、平均して時間 τ（平均自由時間、衝突と衝突の間隔）ごとに散乱されて運動量をリセットされます。

移動度の微視的表式:

  μ = q・τ / m*

    τ  : 散乱の平均自由時間（衝突間隔）
    m* : キャリアの有効質量

ここから2つの本質が読めます。第一に、散乱が頻繁（τが小さい）ほど移動度は下がる。第二に、移動度は有効質量 m* に反比例し、これはバンドの曲率で決まる材料固有の量です。GaAs の電子移動度が Si より一桁高いのは、主に m* が小さいためです。τ は温度・不純物・界面の状態で変わる「環境依存」の量であり、ここを支配するのが次に述べる散乱機構です。

散乱機構とマチーセン則

τ（ひいてはμ）を決める散乱は1種類ではなく、複数の機構が同時に働きます。実デバイスで重要なのは次の3つです。

フォノン散乱とイオン化不純物散乱の温度依存が逆向きである点が要点です。低温では格子振動が静まりフォノン散乱が弱まる一方、熱速度が遅いキャリアは不純物イオンのクーロン場に長く捉えられて曲げられやすく、イオン化不純物散乱が支配的になります。高温ではこれが入れ替わります。結果として、移動度は中間のある温度でピークを持つ山なりの温度依存を示します。

これら複数の散乱を1つの移動度にまとめるのが**マチーセン則（Matthiessen's rule）**です。各機構が独立に運動量を奪うと近似し、散乱率（=1/τ、あるいは 1/μ）を足し合わせます。

マチーセン則:

  1/μ_total = 1/μ_phonon + 1/μ_impurity + 1/μ_surface + ...

  → 個々の移動度の「逆数」を足す。
  → 最も移動度の低い（最も散乱の強い）機構が全体を支配する。

拡散電流 ── 濃度勾配がキャリアを広げる

電界がなくてもキャリアは動きます。濃度の高い場所から低い場所へ熱運動で正味の流れが生じる拡散です。これは香水が部屋に広がるのと同じ統計的な現象で、フィックの法則に従います。

拡散電流密度（1次元）:

  電子: J_n,diff = +q・Dn・(dn/dx)
  正孔: J_p,diff = −q・Dp・(dp/dx)

    Dn, Dp : 拡散係数 [cm²/s]
    dn/dx  : 濃度勾配

符号が電子と正孔で逆なのは電荷の符号差によるもので、物理的にはどちらも「濃いほうから薄いほうへ粒子が流れる」点で同じです。pn 接合の少数キャリア注入や、MOSFET のサブスレッショルド領域（弱反転）の電流は、ドリフトではなくこの拡散が主役です。接合の物理は /semiconductor/pn-junction/ を参照してください。

実際のデバイス内では、各点でドリフトと拡散が同時に働きます。全電流密度はこの2つの和です。

全電流密度（電子の例、ドリフト＋拡散）:

  J_n = q・n・μn・E + q・Dn・(dn/dx)

アインシュタイン関係 ── ドリフトと拡散は無関係ではない

ここで重要なのは、移動度μと拡散係数 D が独立な定数ではないことです。両者は同じ熱運動・同じ散乱に由来するため、熱平衡の条件から固く結びついています。それがアインシュタイン関係です。

アインシュタイン関係:

  D / μ = kT / q  =  Vt（熱電圧、室温で約 0.026 V）

  すなわち  Dn = (kT/q)・μn,   Dp = (kT/q)・μp

この関係の意味は明快です。熱平衡（外部からの正味電流ゼロ）では、濃度勾配が作る拡散電流と、内蔵電界が作るドリフト電流があらゆる点で正確に打ち消し合わなければなりません。この釣り合いを要求すると、D と μ の比は必ず kT/q になります。つまり散乱で移動度が下がれば拡散係数も同じ割合で下がる。両者は同じτから生まれた表裏一体の量です。

なぜこれがデバイス電流の起点なのか

MOSFET のドレイン電流は、チャネルの反転層キャリアが横方向電界で流れるドリフト電流が本体であり、その係数に実効移動度が直接入ります（/semiconductor/mosfet-operation/）。一方サブスレッショルドの漏れ電流は拡散電流です。pn 接合の飽和電流は少数キャリアの拡散で決まり、そこに D（=μ・kT/q）が現れます。ドーピングを増やせばキャリア数 n は増えても（/semiconductor/doping-ion-implantation/）、イオン化不純物散乱でμが下がるというトレードオフも、すべてこの章の枠組みで定量化できます。移動度・ドリフト・拡散・アインシュタイン関係の4点を押さえれば、ほぼ全てのデバイス電流式は「どのキャリアが、どの駆動力で、どれだけ散乱されながら流れるか」という一つの言語で読み解けます。

まとめ

• デバイス電流はドリフト（J=qnμE、電界駆動）と拡散（J=qD(dn/dx)、濃度勾配駆動）の和に必ず分解できる。
• 移動度 μ=qτ/m* は散乱の平均自由時間τと有効質量で決まり、散乱が頻繁・有効質量が重いほど小さい。速度飽和で高電界では vd が頭打ちになる。
• 散乱はフォノン・イオン化不純物・表面ラフネスが並列に効き、マチーセン則で散乱率（移動度の逆数）を足す。フォノンと不純物の温度依存は逆向きで、移動度は山なりの温度依存を持つ。
• ドリフトと拡散は独立でなく、アインシュタイン関係 D/μ=kT/q で結ばれる。両者は同じτに由来する表裏一体の量。
• この4概念が MOSFET・pn 接合など全デバイス電流の共通言語になる。